Cho hai số thực $a, b$ thỏa mãn $\log_{a^{2} + 4 b^{2} + 1} (2 a - 8 b) = 1$ . Tính $P = \frac{a}{b}$ khi biểu thức $S = 4 a + 6 b - 5$ đạt giá trị lớn nhất.

Name: Ôn Thi trắc nghiệm THCS, THPT
Rating: 4,1 (196528 reviews)

\frac{8}{5}

\frac{- 13}{2}

\frac{- 13}{4}

\frac{17}{44}

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B
Điều kiện

\{\begin{cases} a > 4 b \\ a \neq 0 \\ b \neq 0 \end{cases}

.
Ta có

\log_{a^{2} + 4 b^{2} + 1} (2 a - 8 b) = 1 \Leftrightarrow 2 a - 8 b = a^{2} + 4 b^{2} + 1

\Leftrightarrow {(a - 1)}^{2} + {(2 b + 2)}^{2} = 4

.
Khi đó

S = 4 a + 6 b - 5

= 4 (a - 1) + 3 (2 b + 2) - 7

.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia ta có

\begin{array}{l} {(4 (a - 1) + 3 (2 b + 2))}^{2} \leq (4^{2} + 3^{2}) ({(a - 1)}^{2} + {(2 b + 2)}^{2}) = 100 \\ \Leftrightarrow - 10 \leq 4 (a - 1) + 3 (2 b + 2) \leq 10 \end{array}

S_{m ax} = 3 \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{(a - 1)}{4} = \frac{2 b + 2}{3} \\ {(a - 1)}^{2} + {(2 b + 2)}^{2} = 4 \\ 2 a + 3 b = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = \frac{13}{5} \\ b = \frac{- 2}{5} \end{cases}

P = \frac{a}{b} = - \frac{13}{2}

Vậy đáp án đúng là B.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi