Cho hàm bậc ba $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hỏi đồ thị hàm số $y = \frac{(x^{2} + 4 x + 3) \sqrt{x^{2} + x}}{x [f^{2} (x) - 2 f (x)]}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A.2.

B.3.

C.4.

D.6.

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C

Ta thấy phương trình bậc ba

f (x) = 2

có 3 nghiệm phân biệt là

x_{1} = c < - 3

x_{2} = b

với

- 3 < b < - 1

và

x_{3} = - 1

.
Và phương trình bậc ba

f (x) = 0

có nghiệm kép

x = - 3

và nghiệm đơn

x = a

với

- 1 < a < 0

.
Do

\lim_{x \to + \infty} f (x) = - \infty

và

\lim_{x \to - \infty} f (x) = + \infty

nên không mất tính tổng quát, ta giả sử

f (x) = 0 \Leftrightarrow - {(x + 3)}^{2} (x - a) = 0

và

f (x) = 2 \Leftrightarrow - (x - c) (x - b) (x + 1) = 0

.
Ta có:

y = \frac{(x^{2} + 4 x + 3) \sqrt{x^{2} + x}}{x [f^{2} (x) - 2 f (x)]} = \frac{(x + 1) (x + 3) \sqrt{x (x + 1)}}{x . f (x) . [f (x) - 2]}

.
Khi đó:

\lim_{x \to 0^{+}} y = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{(x + 1) (x + 3) \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x} . f (x) . [f (x) - 2]} = + \infty

\lim_{x \to - 3^{+}} y = \lim_{x \to - 3^{+}} \frac{(x + 1) \sqrt{x (x + 1)}}{- x (x + 3) (x - a) . [f (x) - 2]} = - \infty

\lim_{x \to c^{+}} y = \lim_{x \to c^{+}} \frac{(x + 1) (x + 3) \sqrt{x (x + 1)}}{- x . f (x) (x - c) (x - b) (x + 1)} = + \infty

\lim_{x \to b^{+}} y = \lim_{x \to b^{+}} \frac{(x + 1) (x + 3) \sqrt{x (x + 1)}}{- x . f (x) (x - c) (x - b) (x + 1)} = + \infty

\lim_{x \to - 1^{-}} y = \lim_{x \to - 1^{-}} \frac{(x + 3) \sqrt{x (x + 1)}}{- x . f (x) (x - c) (x - b)} = 0

\lim_{x \to - 1^{+}} y

không tồn tại.
Vậy đồ thị hàm số

y = \frac{(x^{2} + 4 x + 3) \sqrt{x^{2} + x}}{x [f^{2} (x) - 2 f (x)]}

có 4 đường tiệm cận đứng là

x = 0

;

x = - 3

;

x = c

;

x = b

Vậy đáp án đúng là C.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học