Cho hàm số $y = f (x)$ dương và liên tục trên $[1; 3]$ thỏa mãn $2 \leq f (x) \leq 3$ , $\forall x \in [1; 3]$ và biểu thức $S = \int_{1}^{3} [f (x) - 1] d x \int_{1}^{3} \frac{1}{f (x)} d x$ đạt giá trị lớn nhất. Khi đó tích phân $\int_{0}^{8} \frac{f (\sqrt{x + 1})}{\sqrt{x + 1}} d x$ bằng

8

9

12

11

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
+)Do

2 \leq f (x) \leq 3

\forall x \in [1; 3]

nên ta có :

[f (x) - 2] [f (x) - 3] \leq 0

\Rightarrow \frac{[f (x) - 2] [f (x) - 3]}{f (x)} \leq 0

\Rightarrow \frac{1}{3} \leq \frac{1}{f (x)} \leq \frac{5 - f (x)}{6} (1)

\Rightarrow S \leq \int_{1}^{3} [f (x) - 1] d x \int_{1}^{3} \frac{5 - f (x)}{6} d x

= \frac{1}{6} \int_{1}^{3} [f (x) - 1] d x \int_{1}^{3} [5 - f (x)] d x

.
+)Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

\frac{1}{6} \int_{1}^{3} [f (x) - 1] d x \int_{1}^{3} [5 - f (x)] d x

\leq \frac{1}{6} {[\int_{1}^{3} [\frac{f (x) - 1 + 5 - f (x)}{2}] d x]}^{2}

= \frac{1}{6} {[\int_{1}^{3} 2 d x]}^{2} = \frac{8}{3}

\Rightarrow S \leq \frac{8}{3}

, dấu

" = "

xảy ra khi

\int_{1}^{3} [f (x) - 1] d x = \int_{1}^{3} [5 - f (x)] d x

\Leftrightarrow \int_{1}^{3} f (x) d x = \int_{1}^{3} 3 d x = 6 (2)

.
+) Ta thấy dấu

" = "

ở

(1)

xảy ra khi

f (x) = 3, \forall x \in [1; 3]

. Suy ra

\int_{1}^{3} f (x) d x = \int_{1}^{3} 3 d x = 6 (3)

.
Từ

(2)

và

(3)

ta suy ra

\int_{1}^{3} f (x) d x = 6

.
+) Ta xét

\int_{0}^{8} \frac{f (\sqrt{x + 1})}{\sqrt{x + 1}} d x

, đặt

t = \sqrt{x + 1} \Rightarrow d t = \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}} d x \Rightarrow d x = 2 t d t

.
Với

x = 0 \Rightarrow t = 1, x = 8 \Rightarrow t = 3

.
Vậy

\int_{0}^{8} \frac{f (\sqrt{x + 1})}{\sqrt{x + 1}} d x = 2 \int_{1}^{3} f (t) d t = 2. 6 = 12

Vậy đáp án đúng là C.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi