Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên $ℝ$ và thỏa mãn $f^{'} (x) + 2 f^{'} (- x) = \frac{2 |x|}{x^{6} + x^{2} + 1}$ với mọi số thực $x$ . Giả sử $f (2) = m$ , $f (- 3) = n$ . Tính giá trị của biểu thức $T = f (- 2) - f (3)$ .

T = m + n

T = n - m

T = m - n

T = - m - n

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B
Với mọi số thực

x

, thay

x

bởi

- x

vào biểu thức

f^{'} (x) + 2 f^{'} (- x) = \frac{2 |x|}{x^{6} + x^{2} + 1}

, ta được

f^{'} (- x) + 2 f^{'} (x) = \frac{2 |- x|}{{(- x)}^{6} + {(- x)}^{2} + 1}

hay

2 f^{'} (x) + f^{'} (- x) = \frac{2 |x|}{x^{6} + x^{2} + 1}

.
Nhân hai vế của với 2 sau đó trừ theo vế cho , rút gọn suy ra

f^{'} (x) = \frac{2}{3} . \frac{|x|}{x^{6} + x^{2} + 1}

với mọi số thực

x

.
Xét

I = \int_{- 3}^{2} f^{'} (x) d x = \int_{- 3}^{2} \frac{2}{3} . \frac{|x|}{x^{6} + x^{2} + 1} d x

. Đặt

u = - x

, khi đó ta được

d u = - d x

.
Đổi cận: Khi

x = - 3 \Rightarrow u = 3

và

x = 2 \Rightarrow u = - 2

.
Ta được

I = \int_{3}^{- 2} \frac{2}{3} . \frac{|- u|}{{(- u)}^{6} + {(- u)}^{2} + 1} (- d u) = \int_{- 2}^{3} \frac{2}{3} . \frac{|u|}{u^{6} + u^{2} + 1} d u = \int_{- 2}^{3} \frac{2}{3} . \frac{|x|}{x^{6} + x^{2} + 1} d x = \int_{- 2}^{3} f^{'} (x) d x

.
Mà

I = \int_{- 3}^{2} f^{'} (x) d x = f (2) - f (- 3)

và

I = \int_{- 2}^{3} f^{'} (x) d x = f (3) - f (- 2)

.
Từ và , ta được

f (2) - f (- 3) = f (3) - f (- 2)

suy ra

f (- 2) - f (3) = f (- 3) - f (2) = n - m

Vậy đáp án đúng là B.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi