Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình bình hành. Các điểm $A', C'$ thỏa mãn $\vec{S A'} = \frac{1}{3} \vec{S A},$ $\vec{S C'} = \frac{1}{5} \vec{S C}$ . Mặt phẳng $(P)$ chứa $A' C'$ cắt các cạnh $S B, S D$ lần lượt tại $B', D' .$ Giá trị nhỏ nhất của $\frac{V_{S . A' B' C' D'}}{V_{S . A B C D}}$ là

\frac{1}{60} .

\frac{1}{30} .

\frac{1}{80} .

\frac{1}{90} .

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A

Ta có

\frac{S A}{S A'} + \frac{S C}{S C'} = \frac{S B}{S B'} + \frac{S D}{S D'}

. Đặt

x = \frac{S B}{S B'}, y = \frac{S D}{S D'}

Suy ra

x + y = 8

\frac{2 V_{S . A' B' C'}}{V_{S . A B C D}} = \frac{S A'}{S A} . \frac{S B'}{S B} . \frac{S C'}{S C} = \frac{1}{15} \frac{1}{x} .

\frac{2 V_{S . A' D' C'}}{V_{S . A B C D}} = \frac{S A'}{S A} . \frac{S D'}{S D} . \frac{S C'}{S C} = \frac{1}{15} \frac{1}{y} .

\frac{2 V_{S . A' B' C'}}{V_{S . A B C D}} + \frac{2 V_{S . A' C' D'}}{V_{S . A B C D}} = \frac{2 V_{S . A' B' C' D'}}{V_{S . A B C D}} = \frac{1}{15} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})

. Đặt

k = \frac{V_{S . A' B' C' D'}}{V_{S . A B C D}}

2 k = \frac{1}{15} (\frac{x + y}{x y}) \Rightarrow k = \frac{4}{15 x y}

.
Dấu đẳng thức xảy ra khi

x = y = 4.

Hay

\min k = \frac{1}{60}

. Đạt được khi

\frac{S B}{S B'} = \frac{S D}{S D'} = \frac{1}{4}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi