Cho hình chóp $S . A B C$ có , và mặt phẳng $(S A C)$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C)$ . Tính diện tích xung quanh của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .

\frac{12 π a^{2}}{7}

\frac{4 π a^{2}}{7}

\frac{3 π a^{2}}{7}

\frac{15 π a^{2}}{7}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A

Dựng

S I ⊥ A C

, ta được

\{\begin{cases} (S A C) ⊥ (A B C) \\ S I ⊥ A C \end{cases}

\Rightarrow

S I ⊥ (A B C)

.
Có

S A = S B = S C

\Rightarrow

Hình chiếu

I

của

S

lên

(A B C)

là tâm đường tròn ngoại tiếp

Δ A B C

.
Do đó

S I

là trục đường tròn ngoại tiếp

Δ A B C

.
Gọi

O

là tâm đường tròn ngoại tiếp

Δ S A C

\Rightarrow

O

cách đều các đỉnh

S

A

B

C

.
Vậy

O

là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S . A B C

.
Mặt khác

Δ S A C

cân tại

S

\Rightarrow

I

cũng là trung điểm

A C

\Rightarrow

Δ A B C

vuông tại

B

\Rightarrow

A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{a^{2} + {(\frac{a \sqrt{6}}{3})}^{2}} = \frac{a \sqrt{15}}{3}

\Rightarrow

A I = C I = \frac{A C}{2} = \frac{a \sqrt{15}}{6}

.
Kẻ

O H ⊥ S A

tại

H

\Rightarrow

S H = A H = \frac{S A}{2} = \frac{a}{2}

.
Ta thấy

Δ S O H \sim Δ S A I

\Rightarrow

\frac{S O}{S A} = \frac{S H}{S I}

\Rightarrow

R = S O = \frac{S A . S H}{\sqrt{S A^{2} - A I^{2}}} = \frac{a . \frac{a}{2}}{\sqrt{a^{2} - {(\frac{a \sqrt{15}}{6})}^{2}}} = \frac{a \sqrt{21}}{7}

.
Diện tích xung quanh mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S . A B C

là

S_{x q} = 4 π R^{2} = 4 π . {(\frac{a \sqrt{21}}{7})}^{2} = \frac{12 π a^{2}}{7}

Vậy đáp án đúng là A.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học