Cho hình hộp chữ nhật . Khoảng cách giữa $A B$ và $B^{'} C$ là $\frac{2 a \sqrt{5}}{5}$ , giữa $B C$ và $A B^{'}$ là $\frac{2 a \sqrt{5}}{5}$ , giữa $A C$ và $B D^{'}$ là $\frac{a \sqrt{3}}{3}$ . Thể tích của khối hộp đó là

8 a^{3}

4 a^{3}

2 a^{3}

a^{3}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C

Đặt

A B = x

A D = y

A A^{'} = z

.
Gọi

H

là hình chiếu vuông góc của

B

trên

B^{'} C

, ta có

B H

là đoạn vuông góc chung của

A B

và

B^{'} C

nên

d (A B, B^{'} C) = B H = \frac{2 a \sqrt{5}}{5} \Rightarrow \frac{1}{B H^{2}} = \frac{1}{z^{2}} + \frac{1}{y^{2}} = \frac{5}{4 a^{2}}

.
Gọi

I

là hình chiếu vuông góc của

B

trên

A B^{'}

, ta có

B I

là đoạn vuông góc chung của

B C

và

A B^{'}

nên

d (B C, A B^{'}) = B I \Rightarrow \frac{1}{B I^{2}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{z^{2}} = \frac{5}{4 a^{2}}

.
Gọi

M

là trung điểm của

D D^{'}

O

là giao điểm của

A C

và

B D

, ta có mặt phẳng

(A C M)

chứa

A C

và song song với

B D^{'}

nên

d (A C, B D^{'}) = d (B D^{'}, (A C M)) = d (D^{'}, (A C M))

.
Gọi

J

là hình chiếu vuông góc của

D

trên

A C

K

là hình chiếu vuông góc của

D

trên

M J

, ta có

d (D^{'}, (A C M)) = d (D, (A C M)) = D K \Rightarrow \frac{1}{D K^{2}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} + \frac{4}{z^{2}} = \frac{3}{a^{2}}

.
Từ , và ta có

\frac{2}{z^{2}} = \frac{1}{2 a^{2}} \Leftrightarrow z = 2 a \Rightarrow x = y = a

.
Thể tích khối hộp là

V = x y z = 2 a^{3}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi