Cho hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ cạnh bằng $1.$ Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $A^{'} B^{'}$ và $B C .$ Mặt phẳng $(D M N)$ chia hình lập phương thành 2 phần. Gọi $V_{1}$ là thể tích của phần chứa đỉnh $A$ và $V_{2}$ là thể tích của phần còn lại. Tỉ số $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ bằng

\frac{1}{2}

\frac{55}{89}

\frac{2}{3}

\frac{37}{48}

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B

Gọi

K = D N \cap A B, Q = M K \cap B B^{'}, I = M K \cap A A^{'}, P = D I \cap A^{'} D^{'}

. Vậy thiết diện của hình lập phương cắt bởi mp

(D M N)

là

M P D N Q

.
Do

N

là trung điểm của

B C \Rightarrow

B

là trung điểm của

A K \Rightarrow B K = A B = 1

. Vì

A^{'} I = B^{'} Q

và

\frac{B^{'} Q}{B Q} = \frac{B^{'} M}{B K} = \frac{1}{2} \Rightarrow B^{'} Q = A^{'} I = \frac{1}{3}, B Q = \frac{2}{3}

. Tương tự

\frac{A^{'} P}{A D} = \frac{A^{'} I}{A I} = \frac{1}{4} \Rightarrow A^{'} P = \frac{1}{4}

.
Ta có

V_{I A^{'} M P} = \frac{1}{3} . A^{'} I . S_{Δ A^{'} M P} = \frac{1}{3} . \frac{1}{3} . \frac{1}{16} = \frac{1}{144}

;

V_{K B N Q} = \frac{1}{3} . B K . S_{Δ B N Q} = \frac{1}{3} . 1. \frac{1}{6} = \frac{1}{18}

;

V_{I . A D K} = \frac{1}{3} . A I . S_{Δ A D K} = \frac{1}{3} . \frac{4}{3} . 1 = \frac{4}{9}

.
Do đó

V_{1} = V_{I . A D K} - V_{I A^{'} M P} - V_{K B N Q} = \frac{4}{9} - \frac{1}{144} - \frac{1}{18} = \frac{55}{144} \Rightarrow V_{2} = 1 - V_{1} = \frac{89}{144}

. Vậy

\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{55}{89}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi