Cho hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có cạnh bằng $1$ . Gọi $V_{1}$ là thể tích phần không gian bên trong chung của hai hình tứ diện $A C B^{'} D^{'}$ và $A^{'} C^{'} B D$ , $V_{2}$ là phần không gian bên trong hình lập phương đã cho mà không bị chiếm chỗ bởi hai khối tứ diện nêu trên. Tính tỉ số $\frac{V_{2}}{V_{1}}$ ?

3

\frac{1}{\sqrt{2}}

\frac{3}{\sqrt{2}}

2

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A

Gọi

I

I^{'}

M

N

P

Q

lần lượt là tâm các hình vuông

A B C D

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

A A^{'} D^{'} D

A B B^{'} A^{'}

B B^{'} C^{'} C

C D D^{'} C^{'}

. Ta được

V_{1}

là thể tích khối bát diện đều với 6 đỉnh

I

I^{'}

M

N

P

Q

cạnh

M N = \frac{\sqrt{2}}{2}

\Rightarrow V_{1} = 2 V_{I . M N P Q}

= 2. \frac{1}{3} d (I, (M N P Q)) . S_{M N P Q}

= \frac{2}{3} . \frac{1}{2} . \frac{1}{2} = \frac{1}{6}

\frac{V_{A B I N}}{V_{A B C B^{'}}} = \frac{A I}{A C} . \frac{A N}{A B^{'}} = \frac{1}{2} . \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

. Phần không gian

V_{2}

gồm 12 hình tứ diện như vậy.

V_{2} = 12 V_{A B I N}

= 12. \frac{1}{4} V_{A B C B^{'}}

12. \frac{1}{4} . \frac{1}{6} = \frac{1}{2}

. Vậy

\frac{V_{2}}{V_{1}} = 3

.
Cách 2: Ta có:

V_{A^{'} C^{'} B D} = V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} - V_{C' C B D} - V_{A' A B D} - V_{D D' A' C'} - V_{B B' A' C'} = \frac{1}{3}

.
Tương tự

V_{A C B^{'} D^{'}} = \frac{1}{3}

\Rightarrow V_{2} = V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} - V_{A^{'} C^{'} B D} - V_{A C B^{'} D^{'}} + V_{1} = \frac{1}{2}

\Rightarrow \frac{V_{2}}{V_{1}} = 3

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi