Cho lăng trụ đứng $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy $A B C$ là tam giác vuông tại $A$ và $A B = a$ , $A C = a \sqrt{3}$ , mặt phẳng $(A^{'} B C)$ tạo với đáy một góc $30 °$ . Thể tích của khối lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ bằng

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}

\frac{3 \sqrt{3} a^{3}}{4}

\frac{\sqrt{3} a^{3}}{4}

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D

* Xác định góc giữa mặt phẳng

(A^{'} B C)

và mặt phẳng đáy:
Trong mặt phẳng

(A B C)

, dựng

A H ⊥ B C

với

H

nằm trên cạnh

B C

. Theo định lý ba đường vuông góc, ta có:

A^{'} H ⊥ B C

. Vậy

\hat{((A^{'} B C); (A B C))} = \hat{A^{'} H A} = 30 °

* Xét tam giác

A B C

có:

\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A C^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{3 a^{2}} \Rightarrow A H = \frac{a \sqrt{3}}{2}

.
Diện tích

B

của tam giác

A B C

là:

B = \frac{A B . A C}{2} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}

.
* Xét tam giác

A^{'} H A

vuông tại

A

, ta có:

A^{'} A = A H . \tan 30 ° = \frac{a}{2}

. Thể tích khối lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

bằng

V = B . h = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} . \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{3} a^{3}}{4}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi