Lời giải:Ta có: \({a^x} = {b^y} = {c^z} = \sqrt {abc} \)
\( \Rightarrow x{\log _{abc}}a = y{\log _{abc}}b = z{\log _{abc}}c = \frac{1}{2}\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{x} = 2{\log _{abc}}a\\
\frac{1}{y} = 2{\log _{abc}}b\\
\frac{1}{z} = 2{\log _{abc}}c
\end{array} \right.\\
\end{array}\)
Do đó: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 2\left( {{{\log }_{abc}}a + {{\log }_{abc}}b + {{\log }_{abc}}c} \right) = 2{\log _{abc}}abc = 2\)
Suy ra: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2 - \frac{1}{z}\)
Ta có: \(P = \frac{{16}}{x} + \frac{{16}}{y} - {z^2} = 16\left( {2 - \frac{1}{z}} \right) - {z^2} = 32 - \frac{{16}}{z} - {z^2}\) ( z > 0 ).
Mặc khác, \(\frac{{16}}{z} + {z^2} = \frac{8}{z} + \frac{8}{z} + {z^2} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{8}{z}.\frac{8}{z}.{z^2}}} = 12\).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow z = 2\).
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là 32 - 12 = 20 tại z = 2.
