Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn $0 \leq x \leq 2020$ và $\log_{3} (3 x + 3) + x = 2 y + 9^{y}$ ?

Name: Ôn Thi trắc nghiệm THCS, THPT
Rating: 4,1 (196528 reviews)

2019

6

2020

4

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D
Điều kiện:

x > - 1

Ta có:

\log_{3} (3 x + 3) + x = 2 y + 9^{y} \Leftrightarrow \log_{3} (x + 1) + (x + 1) = 2 y + 3^{2 y} (*)

Xét hàm số

f (t) = t + 3^{t}, t \in ℝ

có

f^{'} (t) = 1 + 3^{t} \ln 3 > 0, \forall t \in ℝ

, tức hàm số luôn đồng biến trên

ℝ

. Khi đó

(*) \Leftrightarrow f (\log_{3} (x + 1)) = f (2 y) \Leftrightarrow \log_{3} (x + 1) = 2 y \Leftrightarrow x = 9^{y} - 1

Vì

0 \leq x \leq 2020

nên

0 \leq 9^{y} - 1 \leq 2020 \Leftrightarrow 0 \leq y \leq \log_{9} 2021

.
Do

y

nguyên nên

y \in \{0; 1; 2; 3\}

\Rightarrow (x; y) \in \{(0; 0); (8; 1); (80; 2); (728; 3)\}

nên tổng cộng có 4 cặp số nguyên

(x; y)

thỏa đề.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi