Câu hỏi Toán học

Có bao nhiêu số phức z=a+bi a,b∈ℤ thỏa mãn
z+i+z−3i=z+4i+z−6i và z≤10 .

A. 12.
B. 5.
C. 2.
D. 10.
Đáp án và lời giải
Đáp án:A
Lời giải:Lời giải
Chọn A
Cách 1:
Áp dụng bất đẳng thức mô đun số phức ta có:
73z+4i+z−6i≥73z+4i+z−6i=103z+i .
73z−6i+z+4i≥73z−6i+z+4i=103z−3i .
⇒z+4i+z−6i≥z+i+z−3i .
Dấu "=" khi 73z+4i=kz−6i  , k≥073z−6i=kz+4i  , k≥0⇔73−kz=−6k−283i ,  k≥0   173−kz=4k+14i ,  k≥0  2  .
+) Nếu k=73 thì 1, 2 vô lý.
+) Khi k>0k≠73
- Ta có 1⇔z=−6k−283−k+73i=bi , với .
img1
Suy ra b≤−4b>6 .
- Ta có 2⇔z=4k+14−k+73i=bi với b=4k+14−k+73=gk .
img1
Suy ra b<−4b≥6 .
Do đó z+i+z−3i=z+4i+z−6i⇔z=bi , với b≥6 hoặc b≤−4 .
Mà z≤10 ⇒−10≤b≤−46≤b≤10 .
Vì b∈ℤ⇒b∈−10;−9;−8;−7;−6;−5;−4;6;7;8;9;10 .
Vậy có 12 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cách 2:
Description: C:\Users\Dell-7500\AppData\Local\Temp\geogebra.png
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z .
+) Đặt z+i+z−3i=z+4i+z−6i=2m,   m>0 .
Ta có z+i+z−3i=2mz+4i+z−6i=2m ⇔ME1+ME2=2m    1MF1+MF2=2m    2   , với E10 ; −1  ;  E20 ; 3F10 ; −4  ;  F20 ; 6 .
+) Ta có 2m≥E1E22m≥F1F2⇔2m≥42m≥10⇔m≥5 .
*) Với m=5
+) Tập hợp các điểm M thỏa mãn 1 là elip K với hai tiêu điểm là E1,  E2 và độ dài trục lớn bằng 10.
+) Tập hợp các điểm M thỏa mãn 2 là đoạn F1F2 .
+) Ta có K và đoạn F1F2 có có hai điểm chung ⇒ có 2 số phức thỏa mãn.
*) Với m>5
+) Tập hợp các điểm M thỏa mãn 1 là elip K với 2 tiêu điểm E1,  E2 .
+) Tập hợp các điểm M thỏa mãn 2 là elip T với 2 tiêu điểm F1,  F2 .
+) T và K có độ dài trục lớn bằng 2m , tâm I0;1 và có 2 điểm chung là M10;1+m , M20;1−m . Do đó số phức z thỏa mãn đề có dạng z=1+mi hoặc z=1−mi .
+) Do z=a+bi có a, b∈ℤ nên m∈ℤ .
+) z≤10m>5 ⇔1+m≤101−m≤10m>5⇔5<m≤11 .
+) Nếu m∈6;7;8;9 thì mỗi giá trị của m có 2 số phức thỏa mãn z≤10 .
+) Nếu m=10 thì điểm M10;11 bị loại, điểm M20;−9 được Chọn
⇒ Có 1 số phức thỏa mãn.
+) Nếu m=11 thì điểm M10;12 bị loại, điểm M20;−10 được Chọn
⇒ Có 1 số phức thỏa mãn.
Vậy có tất cả 2+4. 2+2=12 số phức thỏa mãn đề.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Bài tập trắc nghiệm 45 phút Phần thực, phần ảo, modun của số phức - Toán Học 12 - Đề số 4

Làm bài

Chia sẻ

Một số câu hỏi khác cùng bài thi.

Một số câu hỏi khác có thể bạn quan tâm.