Có bao nhiêu số thực $m$ để hàm số $y = |3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + m|$ có tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[- 3; 2]$ bằng $300$ ?

4

1

2

3

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Xét hàm số:

u (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + m

\Rightarrow u^{'} (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \in [- 3; 2] \\ x = - 1 \in [- 3; 2] \\ x = 0 \in [- 3; 2] \end{array}

Mà

u (- 3) = 243 + m; y (2) = m - 32; u (- 1) = m - 5; u (0) = m

\Rightarrow \max_{[- 3; 2]} u (x) = m + 243 \Leftrightarrow x = - 3

và

\min_{[- 3; 2]} u (x) = m - 32 \Leftrightarrow x = 2

Trường hợp 1: Nếu

m - 32 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq 32

thì

\{\begin{cases} \max_{[- 3; 2]} y = m + 243 \\ \min_{[- 3; 2]} y = m - 32 \end{cases}

Theo yêu cầu bài toán thì

(m + 243) + (m - 32) = 300 \Leftrightarrow m = \frac{89}{2}

(thỏa mãn)
Trường hợp 2: Nếu

m + 243 \leq 0 \Leftrightarrow m \leq - 243

thì

\{\begin{cases} \max_{[- 3; 2]} y = - m + 32 \\ \min_{[- 3; 2]} y = - m - 243 \end{cases}

Theo yêu cầu bài toán thì

(- m + 32) + (- m - 243) = 300 \Leftrightarrow m = - \frac{511}{2}

(thỏa mãn)
Trường hợp 3: Nếu

(m + 243) (m - 32) < 0 \Leftrightarrow - 243 < m < 32

(*)

thì

\{\begin{cases} \max_{[- 3; 2]} y = \max \{|m + 243|, |m - 32|\} = \max \{m + 243, 32 - m\} \\ \min_{[- 3; 2]} y = 0 \end{cases}

Nếu

m + 243 \geq 32 - m \Leftrightarrow m \geq \frac{- 211}{2}

thì

\max_{[- 3; 2]} y = m + 243

.
Yêu cầu bài toán

\Rightarrow

(m + 243) + 0 = 300 \Leftrightarrow m = 57

(loại không thỏa mãn

(*)

).
Nếu

m + 243 < 32 - m \Leftrightarrow m < \frac{- 211}{2}

thì

\max_{[- 3; 2]} y = - m + 32

.
Yêu cầu bài toán

\Rightarrow

(- m + 32) + 0 = 300 \Leftrightarrow m = - 268

(loại không thỏa mãn

(*)

).
Kết hợp cả ba trường hợp

\Rightarrow [\begin{array}{l} m = \frac{89}{2} \\ m = - \frac{511}{2} \end{array}

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học