[DS12. C2. 6. D06. d] Có bao nhiêu bộ hai số nguyên $(x; y)$ thỏa $1 \leq x^{2} + x \leq 2020$ và
$\log x + \log (x + 1)$ $+ x^{2} + x$ $= y$ $+ 10^{y}$

A.8.

B.4.

C.2

D.0.

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D
Điều kiện:

x > 0

Ta có:

\log x + \log (x + 1) + x^{2} + x = y + 10^{y}

\Leftrightarrow \log [x (x + 1)] + x^{2} + x = y + 10^{y}

\Leftrightarrow \log (x^{2} + x) + x^{2} + x = \log (10^{y}) + 10^{y}

Xét hàm số:

f (t) = \log t + t

với

t > 0

f^{'} (t) = \frac{1}{t \ln 10} + 1 > 0

\forall t > 0

Hàm số đồng biến trên khoảng

(0; + \infty)

\Rightarrow x^{2} + x = 10^{y}

Vì

1 \leq x^{2} + x \leq 2020

nên

1 \leq 10^{y} \leq 2020 \Leftrightarrow 0 \leq y \leq \log 2020 \approx 3, 305

Mà

y

chỉ nhận giá trị nguyên nên

y \in \{0; 1; 2; 3\}

.
Với

y = 0

\Rightarrow

x = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}

(loại).
Với

y = 1

\Rightarrow

x = \frac{- 1 + \sqrt{41}}{2}

(loại).
Với

y = 2 \Rightarrow x = \frac{- 1 + \sqrt{401}}{2}

(loại).
Với

y = 3 \Rightarrow x = \frac{- 1 + \sqrt{4001}}{2}

(loại).
Vậy không có bộ hai số nguyên

(x; y)

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi