[DS12. C3. 2. D04. c] Cho hàm số thỏa mãn $f (1) = 2$ , $f (x) \neq 0$ và ${(x^{2} + 1)}^{2} f^{'} (x) = {[f (x)]}^{2} (x^{2} - 1)$ với mọi $x \in (0; + \infty)$ . Giá trị của $f (2)$ bằng

\frac{2}{5}

- \frac{2}{5}

- \frac{5}{2}

\frac{5}{2}

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D
Từ giả thiết ta có

\frac{f^{'} (x)}{f^{2} (x)} = \frac{x^{2} - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \Rightarrow \int_{1}^{2} \frac{f^{'} (x)}{f^{2} (x)} d x = \int_{1}^{2} \frac{x^{2} - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x (1)

I = \int_{1}^{2} \frac{x^{2} - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x = \int_{1}^{2} \frac{1 - \frac{1}{x^{2}}}{{(x + \frac{1}{x})}^{2}} d x

.
Đặt

t = x + \frac{1}{x}

, suy ra

I = \int_{2}^{\frac{5}{2}} \frac{d t}{t^{2}} = {- \frac{1}{t}|}_{2}^{\frac{5}{2}} = \frac{1}{10} (2)

.
.
Từ

(1)

và

(2)

ta có

{- \frac{1}{f (x)}|}_{1}^{2} = \frac{1}{10} \Rightarrow - \frac{1}{f (2)} + \frac{1}{2} = \frac{1}{10}

.
Vậy

f (2) = \frac{5}{2}

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học