Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $A (2; 0)$ có hệ số góc $m > 0$ cắt đồ thị $(C) : y = - x^{3} + 6 x^{2} - 9 x + 2$ tại ba điểm phân biệt $A$ , $B$ , $C$ . Gọi $B^{'}$ , $C^{'}$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $B$ , $C$ trên trục tung. Giá trị của $m$ để hình thang $B B^{'} C^{'} C$ có diện tích bằng 8 là

m = \frac{3}{2}

m = 1

m = 2

m = \frac{1}{2}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Phương trình đường thẳng

d : y = m (x - 2)

. Phương trình hoành độ giao điểm của

d

và

(C)

- x^{3} + 6 x^{2} - 9 x + 2 = m (x - 2)

\Leftrightarrow (x - 2) (x^{2} - 4 x + m + 1) = 0

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x^{2} - 4 x + m + 1 = 0 (1) \end{array}

d

cắt đồ thị

(C)

tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi PT

(1)

có hai nghiệm phân biệt khác

2

. Điều này tương đương với

\{\begin{cases} Δ^{'} = 4 - (m + 1) > 0 \\ 2^{2} - 4. 2 + m + 1 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m < 3 \\ m \neq 3 \end{cases} \Leftrightarrow m < 3

.
Giả sử

B (x_{1}; m x_{1} - 2 m),

C (x_{2}; m x_{2} - 2 m)

với

x_{1}

và

x_{2}

là hai nghiệm của phương trình

(1)

.
Ta có:

\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 4 \\ x_{1} x_{2} = m + 1 > 1 \end{cases}

\Rightarrow x_{1} > 0, x_{2} > 0

. Ta có

B^{'} (0; m x_{1} - 2 m),

C^{'} (0; m x_{2} - 2 m)

B B^{'} = |x_{1}| = x_{1}

C C^{'} = |x_{2}| = x_{2}

B^{'} C^{'} = |m (x_{1} - x_{2})| = m |x_{1} - x_{2}|

.
Hình thang

B B^{'} C^{'} C

có hai đáy

B B^{'}, C C^{'}

\Rightarrow S_{B B' C' C} = \frac{B B^{'} + C C^{'}}{2} . B^{'} C^{'} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2} . m |x_{1} - x_{2}| = 2 m |x_{1} - x_{2}|

S_{B B' C' C} = 8 \Leftrightarrow m |x_{1} - x_{2}| = 4 \Leftrightarrow m^{2} {(x_{1} - x_{2})}^{2} = 16

\Leftrightarrow m^{2} [{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2}] = 16

\Leftrightarrow m^{2} (16 - 4 m - 4) = 16

\Leftrightarrow m^{3} - 3 m^{2} + 4 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = - 1 \\ m = 2 \end{array}

.
Kết hợp với

0 < m < 3

ta nhận

m = 2

\Rightarrow

Chọn đáp án C

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi