Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x \ln x$ , trục hoành và đường thẳng $x = e$ . Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay $D$ quanh trục hoành được viết dưới dạng $\frac{π}{a} (b e^{3} - 2)$ , với $a$ và $b$ là các số nguyên. Tính giá trị biểu thức $T = a - b^{2} .$

T = - 9

T = - 1

T = 2

T = - 12

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
Ta có đồ thị hàm số

y = x \ln x

cắt trục hoành tại điểm có hoành độ thỏa mãn

x \ln x = 0 \Leftrightarrow x = 1

.
Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay

D

quanh trục hoành

V = π \int_{1}^{e} {(x \ln x)}^{2} d x = π \int_{1}^{e} x^{2} \ln^{2} x d x

.
Đặt

\{\begin{cases} u = \ln^{2} x \\ d v = x^{2} d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = \frac{2 \ln x}{x} d x \\ v = \frac{1}{3} x^{3} \end{cases}

\Rightarrow

V = π (\frac{1}{3} x^{3} \ln^{2} x) |_{1}^{e} - \frac{2 π}{3} \int_{1}^{e} x^{2} \ln x d x

.
Tính

I = \int_{1}^{e} x^{2} \ln x d x

.
Đặt

\{\begin{cases} u = \ln x \\ d v = x^{2} d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = \frac{d x}{x} \\ v = \frac{1}{3} x^{3} \end{cases}

.
Khi đó

I = (\frac{1}{3} x^{3} \ln x) |_{1}^{e} - \frac{1}{3} \int_{1}^{e} x^{2} d x = (\frac{1}{3} x^{3} \ln x) |_{1}^{e} - (\frac{1}{9} x^{3}) |_{1}^{e} = \frac{2 e^{3}}{9} + \frac{1}{9}

.
Suy ra

V = \frac{π e^{3}}{3} - \frac{2 π}{3} (\frac{2 e^{3}}{9} + \frac{1}{9}) = \frac{π}{27} (5 e^{3} - 2)

, từ đó ta có

a = 27; b = 5

.
Vậy

T = a - b^{2} = 27 - 5^{2} = 2.

Vậy đáp án đúng là C.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi