Huyền có một tấm bìa hình tròn như hình vẽ, Huyền muốn biến hình tròn đó thành một cái phễu hình nón. Khi đó Huyền phải cắt bỏ hình quạt tròn $A O B$ rồi dán hai bán kính $O A$ và $O B$ lại với nhau. Gọi $x$ là góc ở tâm hình quạt tròn dùng làm phễu. Tìm $x$ để thể tích phễu là lớn nhất?

\frac{2 \sqrt{6}}{3} π

\frac{π}{3}

\frac{π}{2}

\frac{π}{4}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Góc

x

chắn cung

\overset{⏜}{A B}

có độ dài

l = R . x

.
Từ giả thiết suy ra bán kính của phễu là

r = \frac{R x}{2 π}

và chiều cao của phễu là

h = \sqrt{R^{2} - {(\frac{R x}{2 π})}^{2}} = \frac{R}{2 π} \sqrt{4 π^{2} - x^{2}}

.
Khi đó thể tích của phễu là

V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π . \frac{R^{2} x^{2}}{4 π^{2}} . \frac{R}{2 π} \sqrt{4 π^{2} - x^{2}} = \frac{R^{3}}{24 π^{2}} x^{2} \sqrt{4 π^{2} - x^{2}}

.
Xét hàm số

f (x) = x^{2} \sqrt{4 π^{2} - x^{2}}

x \in (0; 2 π)

f^{'} (x) = 2 x \sqrt{4 π^{2} - x^{2}} - \frac{x^{3}}{\sqrt{4 π^{2} - x^{2}}} = \frac{2 x (4 π^{2} - x^{2}) - x^{3}}{\sqrt{4 π^{2} - x^{2}}} = \frac{x (8 π^{2} - 3 x^{2})}{\sqrt{4 π^{2} - x^{2}}}

.
Cho

f^{'} (x) = 0 \Rightarrow x = \frac{2 \sqrt{6}}{3} π

Lập bảng biến thiên, ta có:

Vậy thể tích phễu lớn nhất khi

x = \frac{2 \sqrt{6}}{3} π

Vậy đáp án đúng là A.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi