[Mức 3] Có một bể hình hộp chữ nhật chứa đầy nước. Người ta cho ba khối nón giống nhau có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân vào bể sao cho ba đường tròn đáy của ba khối nón đôi một tiếp xúc với nhau, một khối nón có đường tròn đáy chỉ tiếp xúc với một cạnh của đáy bể và hai khối nón còn lại có đường tròn đáy tiếp xúc với hai cạnh của đáy bể. Sau đó người ta đặt lên đỉnh của ba khối nón một khối cầu có bán kính bằng $\frac{4}{3}$ lần bán kính đáy của khối nón. Biết khối cầu vừa đủ ngập trong nước và tổng lượng nước tràn ra là $\frac{337 π}{24}$ (lít). Thể tích nước ban đầu ở trong bể thuộc khoảng nào dưới đây (đơn vị tính: lít)?

(150; 151)

(151; 152)

(139; 140)

(138; 139)

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B
Đáy Chiều cao

c = r + H K = r + R + O H

Hình vẽ đáy của khối hộp chữ nhật và chiều cao của khối hộp.
Gọi 3 khích thước của khối hộp chữ nhật là:

a, b, c (d m)

.
Gọi bán kính đáy của hình nón là

r (d m)

, bán kính hình cầu là

R = \frac{4}{3} r (d m)

.
Khi đặt khối cầu lên 3 đỉnh của hình nón thì khoảng cách từ tâm

O

mặt cầu đến mặt phẳng qua 3 đỉnh hình nón là

O H = \sqrt{R^{2} - O_{3} H^{2}} = \sqrt{\frac{16 r^{2}}{9} - {(\frac{2 r \sqrt{3}}{3})}^{2}} = \frac{2 r}{3}

.
Ta có

a = 4 r \Rightarrow r = \frac{a}{4}, b = 2 r + 2 r \frac{\sqrt{3}}{2} = r (2 + \sqrt{3}) = \frac{a (2 + \sqrt{3})}{4}, c = r + R + \frac{2 r}{3} = \frac{5 r}{3} + \frac{4 r}{3} = 3 r = \frac{3 a}{4} .

Thể tích của 3 khối nón là:

V_{1} = 3. \frac{1}{3} π r^{2} . r = π r^{3} = \frac{π a^{3}}{64} (d m^{3})

.
Thể tích của khối cầu là:

V_{2} = \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{4}{3} π {(\frac{a}{3})}^{3} = \frac{4 π a^{3}}{81} (d m^{3})

.
Tổng lượng nước tràn ra là:

V = V_{1} + V_{2} = \frac{π a^{3}}{64} + \frac{4 π a^{3}}{81} = \frac{337 π a^{3}}{5184} (d m^{3})

.
Vậy ta có:

\frac{337 π a^{3}}{5184} = \frac{337 π}{24} \Rightarrow a^{3} = 216 \Rightarrow a = 6 (d m)

.
Vậy

b = \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{4} (d m), c = \frac{3. 6}{4} = \frac{9}{2} (d m)

.
Thể tích nước ban đầu ở trong bể là

a . b . c = 6. \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{4} . \frac{9}{2} = 151, 148 (d m^{3})

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi