Tìm tất cả các giá trị của $m$ để bất phương trình $\sqrt{x} + \sqrt{4 - x} \geq \sqrt{4 x - x^{2} + m}$ nghiệm đúng $\forall x \in [0; 4]$ .

0 \leq m \leq 5

m \geq 5

m \geq 4

0 \leq m \leq 4

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D
BPT

\sqrt{x} + \sqrt{4 - x} \geq \sqrt{4 x - x^{2} + m}

nghiệm đúng

\forall x \in [0; 4]

\Leftrightarrow \{\begin{cases} m \geq \max_{[0; 4]} (x^{2} - 4 x) \\ m \leq \min_{[0; 4]} (x^{2} - 4 x + 2 \sqrt{4 x - x^{2}} + 4) \end{cases}

(I)

.
Xét hàm số

f (x) = x^{2} - 4 x

x \in [0; 4]

.
Ta có

f^{'} (x) = 2 x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \in [0; 4]

.
Mà

f (0) = f (4) = 0

f (2) = - 2

nên

\max_{[0; 4]} f (x) = 0

.
Xét hàm số

g (x) = x^{2} - 4 x + 2 \sqrt{4 x - x^{2}} + 4

x \in [0; 4]

.
Đặt

t = \sqrt{4 x - x^{2}} = \sqrt{x (4 - x)}

x \in [0; 4]

.
Hiển nhiên

t \geq 0

\forall x \in [0; 4]

. Đẳng thức xảy ra

\Leftrightarrow x = 0 \lor x = 4

.
Mặt khác, áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm

x

và

4 - x

, ta được:

\sqrt{x (4 - x)} \leq \frac{x + 4 - x}{2} \Rightarrow t \leq 2

. Đẳng thức xảy ra

\Leftrightarrow \{\begin{cases} 0 \leq x \leq 4 \\ x = 4 - x \end{cases} \Leftrightarrow x = 2

.
Do đó,

g (x)

trở thành

h (t) = - t^{2} + 2 t + 4

t \in [0; 2]

.
Ta có

h^{'} (t) = - 2 t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \in [0; 2]

.
Mà

h (0) = h (2) = 4

h (1) = 5

nên

\min_{[0; 4]} g (x) = \min_{[0; 4]} h (t) = 4

.
Vậy

(I) \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \geq 0 \\ m \leq 4 \end{cases} \Leftrightarrow 0 \leq m \leq 4

Vậy đáp án đúng là D.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi