[ Mức độ 4] Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của $c$ sao cho tồn tại các số thực $a > 1$ , $b > 1$ thỏa mãn $\log_{9} a = \log_{12} b = \log_{16} \frac{5 b - a}{c}$ . Tổng các phần tử trong tập hợp $S$ là

3

4

6

5

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Với hai số thực

a > 1

b > 1

ta có

\log_{9} a > 0

\log_{12} b > 0

.
Đặt

t = \log_{9} a = \log_{12} b = \log_{16} \frac{5 b - a}{c} (t > 0)

, ta có

a = 9^{t}

b = 12^{t}

\frac{5 b - a}{c} = 16^{t}

.
Suy ra

c = \frac{{5. 12}^{t} - 9^{t}}{16^{t}} = 5. {(\frac{3}{4})}^{t} - {(\frac{3}{4})}^{2 t}

.
Đặt

f (t) = 5. {(\frac{3}{4})}^{t} - {(\frac{3}{4})}^{2 t} (t > 0)

, ta có

f' (t) = 5. {(\frac{3}{4})}^{t} . \ln (\frac{3}{4}) - 2. {(\frac{3}{4})}^{2 t} . \ln (\frac{3}{4}) = {(\frac{3}{4})}^{t} . \ln (\frac{3}{4}) . [5 - 2. {(\frac{3}{4})}^{t}]

.
Vì

t > 0

và

0 < \frac{3}{4} < 1

nên

0 < {(\frac{3}{4})}^{t} < 1

\ln (\frac{3}{4}) < 0

và

5 - 2. {(\frac{3}{4})}^{t} > 0

.
Do đó

f' (t) < 0, \forall t > 0

. Suy ra

f (t) < 4, \forall t > 0

.
Vì

c

nguyên dương nên

c \in \{1; 2; 3\}

. Do đó

S = \{1; 2; 3\}

Vậy tổng các phần tử trong tập hợp

S

là

1 + 2 + 3 = 6

.
Với hai số thực

a > 1

b > 1

ta có

\log_{9} a > 0

\log_{12} b > 0

.
Đặt

t = \log_{9} a = \log_{12} b = \log_{16} \frac{5 b - a}{c} (t > 0)

, ta có

a = 9^{t}

b = 12^{t}

\frac{5 b - a}{c} = 16^{t}

.
Suy ra

c = \frac{{5. 12}^{t} - 9^{t}}{16^{t}} = 5. {(\frac{3}{4})}^{t} - {(\frac{3}{4})}^{2 t}

.
Đặt

x = {(\frac{3}{4})}^{t} (x > 1)

, ta có

c = f (x) = 5 x - x^{2}

(1)

f' (x) = 5 - 2 x

;

f' (x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}

.
Bảng biến thiên:

Từ BBT, ta có: Tồn tại

c

nguyên dương thỏa yêu cầu khi và chỉ khi tồn tại

c

nguyên dương thỏa (1)

\Leftrightarrow x = \frac{5}{2}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi