Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $(2 m^{2} - 5 m + 2) {(x - 1)}^{200} (x^{2019} - 2) + 2 x + 3 = 0$ có nghiệm:

m \in \{\frac{1}{2}; 2\}

m \in \emptyset

m \in ℝ

m \in ℝ \ \{\frac{1}{2}; 2\}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải: Lời giải
Chọn C
- Tổng quát định lí sau: Phương trình đa thức bậc lẻ

a_{2 n + 1} x^{2 n + 1} + a_{2 n} x^{2 n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

luôn có ít nhất một nghiệm, với mọi giá trị của

a_{i}

i = \bar{2 n + 1,0}

.
- Chứng minh:
+ Xét hàm số

f (x) = a_{2 n + 1} x^{2 n + 1} + a_{2 n} x^{2 n} + \dots + a_{1} x + a_{0}

, đây là hàm đa thức, xác định trên

ℝ

nên liên tục trên

ℝ

.
+ Mặt khác, ta có:

\lim_{x \to + \infty} f (x) = \lim_{x \to + \infty} [a_{2 n + 1} x^{2 n + 1} + a_{2 n} x^{2 n} + \dots + a_{1} x + a_{0}] = + \infty

nên tồn tại

x_{1} \in ℝ

sao cho

f (x_{1}) > 0

\lim_{x \to - \infty} f (x) = \lim_{x \to - \infty} [a_{2 n + 1} x^{2 n + 1} + a_{2 n} x^{2 n} + \dots + a_{1} x + a_{0}] = - \infty

nên tồn tại

x_{2} \in ℝ

sao cho

f (x_{2}) < 0

.
Áp dụng hệ quả của định lí về giá trị trung gian đã nêu trên, tồn tại

t \in (x_{1}; x_{2})

sao cho

f (t) = 0

.
- Trở lại câu 5, đặt

f (x) = (2 m^{2} - 5 m + 2) {(x - 1)}^{200} (x^{2019} - 2) + 2 x + 3

.
+ Xét

2 m^{2} - 5 m + 2 = 0 \Leftrightarrow

m = \frac{1}{2}

hay

m = 2

. Khi đó phương trình trở thành

2 x + 3 = 0

\Leftrightarrow x = - \frac{3}{2}

+ Xét

2 m^{2} - 5 m + 2 \neq 0 \Leftrightarrow

m \neq \frac{1}{2}

và

m \neq 2

. Rõ ràng khi khai triển thì

f (x)

là đa thức bậc lẻ, có bậc cao nhất là

200 + 2019 = 2219

. Áp dụng định lí vừa chứng minh trên ta suy ra phương trình

f (x) = 0

có ít nhất một nghiệm. Vậy ycbt

\Leftrightarrow

m \in ℝ

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi