Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 2; 4). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất.

A. x + y + z – 7 = 0.

B. x + 2y + 4z – 21 = 0.

C. x – y – z + 5= 0.

D. 4x + 2y+z–12 = 0

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D
+ Gọi

A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c)

với

a, b, c > 0

. Suy ra
+ Ta có:

M \in (P) \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{4}{c} = 1

+ Thể tích khối chóp O. ABC là

V_{O . A B C} = \frac{1}{6} a b c

+ Áp dụng BĐT Côsi:

1 = \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{4}{c} \geq 3. \sqrt[3]{\frac{1}{a} . \frac{2}{b} . \frac{4}{c}} \Leftrightarrow \frac{1}{27} \geq \frac{8}{a b c} \Leftrightarrow a b c \geq 27. 8

V_{O . A B C} = \frac{1}{6} a b c \geq 36

. Do đó,

\min V_{O . A B C} = 36 \Leftrightarrow \frac{1}{a} = \frac{2}{b} = \frac{4}{c} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow a = 3, b = 6, c = 12

. Vậy,

(P) : \frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{12} = 1

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi