Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z,$ cho hai điểm $A (0; 3; 0), B (0; 0; 4)$ và mặt phẳng $(P) : x + 2 z = 0.$ Điểm $C$ thuộc trục $O x$ sao cho mặt phẳng $(A B C)$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ . Tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $O A B C$ là

(1; \frac{3}{2}; - 2) .

(- 1; \frac{3}{2}; 2) .

(1; \frac{3}{2}; - 1) .

(1; 0; - 2) .

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B
Giả sử

C (m; 0; 0), m \neq 0

.
Phương trình mặt phẳng

(A B C)

là:

\frac{x}{m} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1 \Leftrightarrow 12 x + 4 m y + 3 m z - 12 m = 0

.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

(A B C)

là

\vec{n_{A B C}} = (12; 4 m; 3 m)

.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

(P)

là

\vec{n_{P}} = (1; 0; 2)

.
Vì

(A B C) ⊥ (P)

nên

\vec{n_{A B C}} . \vec{n_{P}} = 0 \Leftrightarrow 12 + 6 m = 0 \Leftrightarrow m = - 2 \Rightarrow C (- 2; 0; 0) .

Giả sử phương trình mặt cầu

(S)

ngoại tiếp tứ diện

O A B C

có dạng

x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 a x + 2 b y + 2 c z + d = 0.

(a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0)

Vì

O, A, B, C \in (S)

nên ta có hệ phương trình:

\{\begin{cases} d = 0 \\ 9 + 6 b + d = 0 \\ 16 + 8 c + d = 0 \\ 4 - 4 a + d = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = - \frac{3}{2} \\ c = - 2 \\ d = 0 \end{cases}

Suy ra phương trình

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 3 y - 4 z = 0.

Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

O A B C

có tâm

I (- 1; \frac{3}{2}; 2) .

Vậy đáp án đúng là B.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi