01B là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
CHUÛ ÑEÀ
1. HAØM SOÁ VAØ ÖÙNG DUÏNG ÑAÏO HAØM
Baøi 01
SÖÏ ÑOÀNG BIEÁN, NGHÒCH BIEÁN CUÛA HAØM SOÁ
Kí hiệu là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng.
1) Điều kiện cần để hàm số đơn điệu
Giả sử hàm số có đạo hàm trên khoảng
Nếu hàm số đồng biến trên khoảng thì
Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng thì
2) Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu
Giả sử hàm số có đạo hàm trên khoảng
Nếu với mọi thuộc thì hàm số đồng biến trên .
Nếu với mọi thuộc thì hàm số nghịch biến trên .
Nếu với mọi thuộc thì hàm số không đổi trên (hàm số còn gọi là hàm hằng trên ).
3) Định lý mở rộng
Cho hàm số có đạo hàm trên . Nếu và chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên .
Chú ý: chỉ tại một số hữu hạn điểm. Tuy nhiên một số hàm số có tại vô hạn điểm nhưng các điểm rời rạc thì hàm số vẫn đơn điệu.
Ví dụ: Hàm số
Ta có
có vô hạn điểm làm cho nhưng các điểm đó rời rạc nên hàm số đồng biến trên
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho hàm số có đạo hàm trên Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì
B. Nếu thì hàm số đồng biến trên K.
C. Nếu thì hàm số đồng biến trên K.
D. Nếu và chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên K.
Lời giải. Chọn C.
Câu 2. Cho hàm số xác định trên , với bất kỳ thuộc . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi .
B. Hàm số nghịch biến trên khi và chỉ khi .
C. Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi .
D. Hàm số nghịch biến trên khi và chỉ khi
Lời giải. A sai. Sửa lại cho đúng là .
B sai: Sửa lại cho đúng là .
C sai: Sửa lại cho đúng là .
D đúng (theo định nghĩa). Chọn D.
Câu 3. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi với mọi và .
B. Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi .
C. Nếu hàm số đồng biến trên thì đồ thị của nó đi lên từ trái sang phải trên .
D. Hàm số đồng biến trên thì đồ thị của nó đi xuống từ trái sang phải trên .
Lời giải. A sai: Sửa lại cho đúng là .
B sai: Sửa lại cho đúng là .
C đúng (theo dáng điệu của đồ thị hàm đồng biến). Chọn C.
D sai (đối nghĩa với đáp án C).
Câu 4. Cho hàm số có đạo hàm trên . Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Nếu thì hàm số đồng biến trên khoảng .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng khi và chỉ khi và chỉ tại một hữu hạn điểm .
C. Nếu hàm số đồng biến trên khoảng thì .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng khi và chỉ khi với mọi và
Lời giải. Chọn C. Sửa lại cho đúng là Nếu hàm số đồng biến trên thì
Câu 5. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Nếu hàm số đồng biến trên , hàm số nghịch biến trên thì hàm số đồng biến trên .
B. Nếu hàm số đồng biến trên , hàm số nghịch biến trên và đều nhận giá trị dương trên thì hàm số đồng biến trên .
C. Nếu các hàm số , đồng biến trên thì hàm số đồng biến trên .
D. Nếu các hàm số , nghịch biến trên và đều nhận giá trị âm trên thì hàm số đồng biến trên .
Lời giải. A sai: Vì tổng của hàm đồng biến với hàm nghịch biến không kết luận được điều gì.
B sai: Để cho khẳng định đúng thì đồng biến trên .
C sai: Hàm số , phải là các hàm dương trên mới thoả mãn.
D đúng. Chọn D.
Câu 6. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Nếu hàm số đồng biến trên thì hàm số nghịch biến trên
B. Nếu hàm số đồng biến trên thì hàm số nghịch biến trên
C. Nếu hàm số đồng biến trên thì hàm số đồng biến trên
D. Nếu hàm số đồng biến trên thì hàm số nghịch biến trên
Lời giải. Ví dụ hàm số đồng biến trên , trong khi đó hàm số nghịch biến trên và . Do đó B sai. Chọn B.
Câu 7. Nếu hàm số đồng biến trên khoảng thì hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải. Tịnh tiến đồ thị hàm số sang trái 2 đơn vị, ta sẽ được đồ thị của hàm số . Khi đó, do hàm số liên tục và đồng biến trên khoảng nên hàm số đồng biến trên . Chọn C.
Cách trắc nghiệm nhanh. Ta ốp
Câu 8. Nếu hàm số đồng biến trên khoảng thì hàm số đồng biến trên khoảng nào?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải. Tổng quát: Hàm số liên tục và đồng biến trên khoảng thì hàm số liên tục và đồng biến trên khoảng . Chọn C.
Cách trắc nghiệm nhanh. Ta ốp
Câu 9. Cho hàm số đồng biến trên khoảng . Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hàm số đồng biến trên .
B. Hàm số nghịch biến trên .
C. Hàm số nghịch biến trên .
D. Hàm số đồng biến trên .
Lời giải. Chọn A.
Câu 10. Cho hàm số . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên .
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên .
C. Hàm số đã cho đồng biến trên và nghịch biến trên .
D. Hàm số đã cho đồng biến trên và nghịch biến .
Lời giải. Đạo hàm: và .
Suy ra hàm số đã cho luôn đồng biến trên . Chọn A.
Câu 11. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào được cho dưới đây?
A. . B. hoặc .
C. . D. hoặc .
Lời giải. Ta có:
Ta có .
Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng . Chọn A.
Câu 12. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên toàn trục số?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải. Để hàm số nghịch biến trên toàn trục số thì hệ số của phải âm. Do đó A & D không thỏa mãn.
Xét B: Ta c
