1. BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 9 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Chủ đề 1: BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ
Chương 1: Căn thức
1.1 CĂN THỨC BẬC 2
Kiến thức cần nhớ:
Căn bậc hai của số thực là số thực sao cho .
Cho số thực không âm. Căn bậc hai số học của kí hiệu là là một số thực không âm mà bình phương của nó bằng :
Với hai số thực không âm ta có: .
Khi biến đổi các biểu thức liên quan đến căn thức bậc 2 ta cần lưu ý:
+ nếu
+ với ; với
+ với
+ với ;(Đây gọi là phép khử căn thức ở mẫu)
+ với (Đây gọi là phép trục căn thức ở mẫu)
1.2 CĂN THỨC BẬC 3, CĂN BẬC n.
1.2.1 CĂN THỨC BẬC 3.
Kiến thức cần nhớ:
Căn bậc 3 của một số kí hiệu là là số sao cho
Cho
Mỗi số thực đều có duy nhất một căn bậc 3.
Nếu thì .
Nếu thì .
Nếu thì .
với mọi .
với mọi .
.
.
với
với .
1.2.2 CĂN THỨC BẬC n.
Cho số . Căn bậc của một số là một số mà lũy thừa bậc của nó bằng a.
Trường hợp là số lẻ:
Mọi số thực đều có một căn bậc lẻ duy nhất:
, nếu thì , nếu thì , nếu thì
Trường hợp là số chẵn: .
Mọi số thực đều có hai căn bậc chẵn đối nhau. Căn bậc chẵn dương kí hiệu là (gọi là căn bậc số học của ). Căn bậc chẵn âm kí hiệu là , và ; và .
Mọi số thực đều không có căn bậc chẵn.
Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Phân tích các biểu thức sau thành tích:
a)
b)
c)
Lời giải:
a) .
b) .
c) .
Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức:
a) khi .
b) khi .
c)
Lời giải:
a)
+ Nếu thì . + Nếu thì
b)
Hay + Nếu thì suy ra .
+ Nếu thì suy ra .
c) Để ý rằng:
Suy ra .Hay
Ví dụ 3) Chứng minh:
a) là số nguyên.
b) là một số nguyên ( Trích đề TS vào lớp 10 chuyên Trường THPT chuyên ĐHQG Hà Nội 2006).
c) Chứng minh rằng: với là số tự nhiên.
d) Tính biết .
Lời giải:
a) Dễ thấy
Tacó
Suy ra .
b) Áp dụng hằng đẳng thức: . Ta có:
. Hay mà suy ra . Vậy là số nguyên.
c) Áp dụng hằng đẳng thức:
Ta có
Xét đa thức bậc hai với
+ Khi ta có .
+ Khi ta có âm nên đa thức (1) có nghiệm duy nhất Vậy với mọi ta có: là số tự nhiên.
d) Nhận xét: .
Kết hợp với giả thiết ta suy ra Ví dụ 4)
a) Cho . Tính giá trị biểu thức: .
b) Cho . Tính giá trị của biểu thức .(Trích đề thi vào lớp 10 Trường PTC Ngoại Ngữ - ĐHQG Hà Nội năm 2015-2016).
c) Cho . Tính giá trị biểu thức:
a) Giải:
b) Ta có: . Từ đó ta suy ra . Ta biến đổi: .
c) Ta có . Ta biến đổi biểu thức thành:
d) Để ý rằng: ta nhân thêm 2 vế với để tận dụng hằng đẳng thức: . Khi đó ta có: .
Ta biến đổi: Ví dụ 5) Cho và .
a) Tính giá trị biểu thức:
b) Chứng minh rằng:
Lời giải:
a) Để ý rằng:
Tương tự đối với ta có:
Suy ra .
b) Tương tự như câu a)
Ta có: Ví dụ 6)
a) Tìm thỏa mãn:
b) Cho với nguyên dương. Tính .
Lời giải:
a) Đẳng thức tương đương với:
Hay
b) Đặt .
Suy ra . Áp dụng vào bài toán ta có:
Ví dụ 7)
a) Chứng minh rằng: . Đề thi chuyên ĐHSP 2011
b) Chứng minh rằng: .
c) Chứng minh: với mọi số nguyên dương .
Lời giải:
a) Xét ,
Dễ thấy .
Ta có
Mặt khác ta có:
Suy ra . Do suy ra .
b) Để ý rằng: với mọi nguyên dương.
Suy ra .
c) Đặt
Ta có: với mọi số tự nhiên .
Từ đó suy ra hay
Do đó: và .
Hay .
Ví dụ 8)
a) Cho ba số thực dương thỏa mãn .Chứng minh rằng: .
a) Tìm các số thực thỏa mãn điều kiện: . (Trích đề thi tuyến sinh vào lớp 10 chuyên Toán- Trường chuyên ĐHSP Hà Nội 2014)
Lời giải:
a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (đpcm).
b) Ta viết lại giả thiết thành: .
Áp dụng bất đẳng thức : ta có: . Suy ra . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:Ví dụ 9) Cho với
a) Rút gọn .Tìm để đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Tìm các giá trị nguyên của để có giá trị nguyên.
Lời giải:
a) Điều kiện để biểu thức xác định là .
+ Nếu thì nên
Do nên .
+ Nếu thì nên (Theo bất đẳng thức Cô si). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy GTNN của bằng khi .
b) Xét thì , ta thấy khi và chỉ khi là ước số nguyên dương của . Hay đối chiếu điều kiện suy ra hoặc .
+ Xét ta có: , đặt khi đó ta có: suy ra .
Tóm lại để nhận giá trị nguyên thì .
MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Câu 1. (Đề thi vào lớp 10 thành phố Hà Nội – năm học 2013-2014)
Với , cho hai biểu thức và .
1) Tính giá trị biểu thức khi .
2) Rút gọn biểu thức .
3) Tính để .
Câu 2. (Đề thi năm học 2012 -2013 thành phố Hà Nội)
1) Cho biểu thức . Tính giá trị của biểu thức .
2) Rút gọn biểu thức (với )
3) Với các biểu thức và nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên của để giá trị của biểu thức là số nguyên.
Câu 3. (Đề thi năm học 2011 -2012 thành phố Hà Nội).
Cho , với .
1) Rút gọn biểu thức
2) Tính giá trị của A khi .
3) Tìm để .
Câu 4. (Đề thi năm học 2010 -2011 thành phố Hà Nội).
Cho , với .
1) Rút gọn .
2) Tìm giá trị của để .
3) Tìm giá trị lớn nhất của .
Câu 5. (Đè thi năm học 2014 – 2015 Thành
