Bài toán cực trị số phức là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.online tổng hợp và biên soạn từ các nguồn chia sẻ trên Internet. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn luyện và học tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
1
CỰC TRỊ SỐ PHỨC VÀ HÌNH HỌC
Câu 1. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z − 1 − i| + |z + 1 + 3i| = 6
√
5. Giá trị lớn nhất của
|z− 2− 3i| là
A 5
√
5. B 2
√
5. C 6
√
5. D 4
√
5.
Hướng dẫn giải
Ta có |z− 1− i|+ |z + 1 + 3i| = 6
√
5⇔ MA + MB = 6
√
5 với M(x; y)
biểu diễn số phức z = x + yi, A(1; 1) biểu diễn số phức 1+ i, B(−1;−3)
biểu diễn số phức −1− 3i.
Khi đó điểm M nằm trên elip tâm I có độ dài trục lớn 6
√
5 và A, B là
hai tiêu điểm.
A BC I
M′
M
• |z− 2− 3i| = MC với C(2; 3) biểu diễn số phức 2 + 3i.
• # »AB = (−2;−4)⇒ AB = 2
√
5.
• # »AC = (1; 2)⇒ AC =
√
5.
• Vì # »AB = −2 # »AC nên # »AB, # »AC ngược hướng và AB = 2AC.
Gọi M′ là điểm nằm trên elip sao cho A, B, M′ thẳng hàng và M′ khác phía A so với B.
Ta có BM′ =
6
√
5− AB
2
= 2
√
5.
Ta thấy MC ≤ M′C với mọi điểm M nằm trên elip.
Do đó MC lớn nhất khi và chỉ khi M ≡ M′.
Khi đó MC = M′C = CA + AB + BM′ =
√
5 + 2
√
5 + 2
√
5 = 5
√
5.
Chọn đáp án A
Câu 2. Cho số phức z thỏa mãn |z + 1| + |z − 3 − 4i| = 10. Giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức
P = |z− 1 + 2i| bằng
A Pmin =
√
17. B Pmin =
√
34. C Pmin = 2
√
10. D Pmin =
√
34
2
.
Hướng dẫn giải
Đặt z = x + yi, điểm biểu diễn của z là M(x; y).
Khi đó |z + 1|+ |z− 3− 4i| = 10⇔ MA + MB = 10 với A(−1; 0) và B(3; 4).
Suy ra M thuộc elip có độ dài trục lớn là 10⇒ 2a = 10⇒ a = 5 và hai tiêu điểm là A, B.
Mà
# »
AB = (4; 4)⇒ AB = 4
√
2⇒ 2c = 4
√
2⇒ c = 2
√
2.
Ta có
P = |z− 1 + 2i|
=
√
(x− 1)2 + (y− 2)2 = MH
2
Với H(1; 2). Dễ thấy A, B, H thẳng hàng nên H thuộc đoạn AB.
Do đó Pmin ⇔ MH ngắn nhất khi và chỉ khi M thuộc trục nhỏ của elip.
Khi đó độ dài MH bằng một nửa trục nhỏ hay MH = b =
√
a2 − c2 =
√
17.
Chọn đáp án A
Câu 3. Cho các số phức z, w thỏa mãn |z− 5 + 3i| = 3, |iw + 4 + 2i| = 2. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức T = |3iz + 2w|.
A
√
554 + 5. B
√
578 + 13. C
√
578 + 5. D
√
554 + 13.
Hướng dẫn giải
O IA B9 4
Ta có |z− 5 + 3i| = 3⇔
∣∣∣∣3iz− 15i− 93i
∣∣∣∣ = 3⇔ |3iz− 9− 15i| = 9.
|iw + 4 + 2i| = 2⇔
∣∣∣∣−i2 (−2w− 4 + 8i)
∣∣∣∣ = 2⇔ |− 2w− 4 + 8i| = 4.
Gọi A và B là điểm biểu diễn của 3iz và −2w, khi đó A và B lần lượt thuộc các đường tròn tâm
O(9; 15) bán kính bằng 9 và đường tròn I(4;−8) bán kính bằng 4. Ta tính được OI =
√
554.
Khi đó T = |3iz + 2w| = |3iz− (−2w)| = AB.
Do IO =
√
554 > 4+ 9 nên hai đường tròn ngoài nhau, suy ra ABmax = AO+OI + IB =
√
554+ 13.
Chọn đáp án D
Câu 4. Xét số phức z thỏa mãn |iz− 2i− 2| − |z + 1− 3i| =
√
34. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = |(1 + i)z + 2i|.
A Pmin =
9√
17
. B Pmin = 3
√
2. C Pmin = 4
√
2. D Pmin =
√
26.
Hướng dẫn giải
Giả sử số phức z có dạng z = a + bi, z có biểu diễn hình học là điểm M(a; b). Khi đó
|iz− 2i− 2| − |z + 1− 3i| =
√
34⇔
√
(b + 2)2 + (a− 2)2 −
√
(a + 1)2 + (b− 3)2 =
√
34. (1)
Gọi điểm A(2;−2), B(−1; 3) khi đó ta có AB =
√
34. Kết hợp với (1) ta suy ra MA−MB = AB.⇒
Điểm M trùng với điểm B hoặc B là trung điểm của MA. Ta xét hai trường hợp sau:
• TH1: M trùng B⇒ M(−1; 3). Suy ra
P =
√
(a− b)2 + (a + b + 2)2 =
√
32 = 4
√
2.
• TH2: B là trung điểm của MA⇒ M(−4; 8). Suy ra
P =
√
(a− b)2 + (a + b + 2)2 =
√
180 = 6
√
5.
3
Suy ra, min P = 4
√
2.
Chọn đáp án C
Câu 5. Cho số phức z thỏa mãn
∣∣∣∣ z− 2iz + 3− i
∣∣∣∣ = 1. Giá trị nhỏ nhất của |z + 3− 2i| bằng
A
2
√
10
5
. B 2
√
10. C
√
10. D
√
10
5
.
Hướng dẫn giải
Gọi z = x + yi với x, y ∈ R.∣∣∣∣ z− 2iz + 3− i
∣∣∣∣ = 1⇔ |z− 2i| = |z + 3− i| ⇔ |x + (y− 2)i| = |(x + 3) + (y− 1)i| ⇔ 3x + y + 3 = 0.
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d : 3x + y + 3 = 0.
Ta có |z + 3− 2i| = |z− (−3 + 2i)|, với M0(−3; 2).
|z + 3− 2i| đạt giá trị nhỏ nhất bằng d(M0, d) =
| − 9 + 2 + 3|√
9 + 1
=
4√
10
=
2
√
10
5
.
Chọn đáp án A
Câu 6. Cho các số phức z, w thỏa mãn |z| =
√
5, w = (4− 3i)z + 1− 2i. Giá trị nhỏ nhất của |w|
là
A 3
√
5. B 4
√
5. C 5
√
5. D 6
√
5.
Hướng dẫn giải
Theo giả thiết ta có w = (4− 3i)z + 1− 2i⇒ z = w− 1 + 2i
4− 3i .
Nên |z| =
√
5⇔
∣∣∣∣w− 1 + 2i4− 3i
∣∣∣∣ = √5⇔ |w− 1 + 2i| = 5√5.
Vậy, tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn I(1;−2) và bán kính R = 5
√
5.
Ta có OI =
√
12 + (−2)2 =
√
5 < R.
Do đó min |w| = R−OI = 5
√
5−
√
5 = 4
√
5.
Chọn đáp án B
Câu 7. Cho số phức z thỏa mãn |z− 3 + 4i| = 2. Mô-đun lớn nhất của z bằng
A 7. B 8. C 5. D 3.
Hướng dẫn giải
Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z thỏa |z− 3 + 4i| = 2 là đường tròn có tâm I(3;−4) và bán
kính bằng R = 2. Suy ra max |z| = IO + R = 7.
Chọn đáp án A
Câu 8. Cho số phức z thỏa mãn |z − 2− 3i|+ |z − 5 + 2i| =
√
34. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức |z + 1 + 2i|. Khi đó tổng M + m bằng
A
30√
34
+
√
34. B
30√
34
+ 5. C
√
34 + 6. D
30√
34
+ 6.
Hướng dẫn giải
4
Đặt z = x + yi với x, y ∈ R.
Gọi I(x; y) là điểm biểu diễn của số phức z.
Ta có A(2; 3), B(5;−2), C(−1;−2) lần lượt là điểm biểu diễn của số
phức z1 = 2 + 3i, z2 = 5− 2i, z3 = −1− 2i. Khi đó AB =
√
34 và
|z + 1 + 2i| = CI.
Theo đề bài thì AI + BI =
√
34 = AB nên I thuộc đoạn thẳng AB.
Phương trình của đường thẳng AB là 5x + 3y− 19 = 0.
x
y
O
A
B
C
I
CI đạt giá trị nhỏ nhất khi CI ⊥ AB hay CI = d(C, AB) = |5 · (−1) + 3 · (−2)− 19|√
