Các bài toán hình không gian cho thi đại học là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.online tổng hợp và biên soạn từ các nguồn chia sẻ trên Internet. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn luyện và học tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
CÁC BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN CHO THI ĐẠI HỌC
1 - Khối chóp
Bài 1.1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều vàSAD = 900. J là trung điểm SD. Tính theo a thể tích khối tứ diện ACDJ và khoảng cách từ D
đến mặt phẳng (ACJ).
Giải:
A
B
D
C
I
S
J
+
{
AD ⊥ SA
AD ⊥ AB ⇒ AD ⊥ (SAB)
+ Gọi I là trung điểm AB thì AD ⊥ SI (1). Mà ∆SAB đều nên SI ⊥ AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra SI ⊥ (ABCD). Do đó d(J, (ACD))= 1
2
d(S, (ABCD))= 1
2
SI = a
p
3
4
Từ đó suy ra VACDJ =
1
3
.
1
2
.a2.
a
p
3
4
= a
3p3
24
.
∆BCI vuông tại B nên CI2 = CB2 +BI2 = 5a
2
4
∆SIC vuông tại I nên SC2 = SI2 + IC2 = 2a2
Tương tự SD2 = SC2 = 2a2
∆SCD có CJ là đường trung tuyến nên CJ2 = SC
2 +CD2
2
− SD
4
4
= a2
Xét ∆JAC có JA = ap
2
; AC = ap2;CJ = a nên tính được cosA = 3
4
Từ đó sinJAC = p7
4
nên dt(JAC)= 1
2
.
ap
2
.
p
7
4
= a
2p7
8
Vậy d(D, (JAC))=
3.
a3
p
3
24
a2
p
7
8
= a
p
21
7
Nhận xét: Có thể tính diện tích tam giác JAC bằng cách lấy hình chiếu của J trên mặt đáy (là
trung điểm H của DI). Trong mặt đáy, kẻ HK vuông góc với AC (hay HK song song với BD) với
K thuộc AC thì chỉ ra được JK vuông góc với AC và tính được JK là đường cao tam giác JAC.
Bài 1.2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; hai đường chéo AC = 2p3a,BD =
2a và cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng
a
p
3
4
, tính thể tích khối chóp S.ABCD
theo a.
http://boxmath.vn/ 1http://boxtailieu.net
Giải:
D A
C B
O
S
H
K
I
Từ giả thiết AC = 2ap3;BD = 2a và AC,BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi
đường chéo. Ta có tam giác ABO vuông tại O và AO = ap3;BO = a, do đó ABD = 60o hay tam
giác ABD đều. Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) nên giao tuyến của chúng là SO ⊥ (ABCD).
Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB,K là trung điểm của HB ta có DH ⊥ AB
và DH = ap3;OK //DH và OK = 1
2
DH = a
p
3
2
⇒ OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SOK) Gọi I là hình chiếu của
O lên SK ta có OI ⊥ SK ; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ (SAB), hay OI là khoảng cách từ O đến mặt phẳng
(SAB). Tam giác SOK vuông tại O,OI là đường cao ⇒ 1
OI2
= 1
OK2
+ 1
SO2
⇒ SO = a
2
Diện tích
đáy SABCD = 4S∆ABO = 2.OA.OB = 2
p
3a2; đường cao của hình chóp SO = a
2
.
Thể tích khối chóp S.ABCD : VS.ABCD =
1
3
SABCD .SO =
p
3a3
3
Bài 1.3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 3cm , các cạnh SA =
SB = SC = 3cm. Tam giác SBD có diện tích bằng 6cm2 .Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
Giải:
D A
C B
O
S
H
Gọi H là hình chiếu của S trên (ABCD) suy ra H nằm trên BD (Vì SA = SB == SC,BD là trung
trực của AC). Do đó SH đường cao của hình chóp cũng là đường cao của tam giác SBD; Gọi O
là giao điểm của AC và BD. Vì SA = SC = DA = DC nên SO = DO suy ra tam giác SBD là tam
giác vuông tại S. Vì dt(SBD)= 6 và SB = 3 nên SD = 4; suy ra BD = 5,SH = 12
5
.
ABCD là hình thoi có AD = 3,DO = 5
2
nên AO =
p
11
2
suy ra dt(ABCD)= 5
p
11
2
.
http://boxmath.vn/ 2http://boxtailieu.net
VS.ABCD =
1
3
SH.dt(ABCD)= 2p11.
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD bằng 2
p
11(cm3).
Bài 1.4. Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a (với a > 0); SA tạo với đáy (ABC) một góc bằng 600.
Tam giác ABC vuông tại B,ACB = 300.G là trọng tâm tam giác ABC. Hai mặt phẳng (SGB)
và (SGC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích hình chóp S.ABC theo a.
Giải:
A
C
B
KG
S
Gọi K là trung điểm BC. Ta có SG ⊥ (ABC);SAG = 600, AG = 3a
2
.
Từ đó AK = 9a
4
;SG = 3a
p
3
2
.
Trong tam giác ABC đặt AB = x ⇒ AC = 2x;BC = xp3.
Ta có AK2 = AB2 +BK2 nên x = 9a
p
7
14
Vậy VS.ABC =
1
3
SG.dt(ABC)= 243
112
a3.
Bài 1.5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và tam giác SAB là tam giác
cân tại đỉnh S. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng đáy bằng 450, góc giữa mặt phẳng
(SAB) và mặt phẳng đáy bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD, biết rằng khoảng cách
giữa hai đường thẳng CD và SA bằng a
p
6.
Giải:
A
B C
D
M
NH
S
P
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt đáy, M là trung điểm AB và do tam giác SAB
cân tại S nên SM vuông góc với AB và kết hợp với SH vuông góc với đáy suy ra AB vuông góc
với mặt phẳng SMN nên theo giả thiết ta được: á(SA, (ABCD))= SAH = 450 ⇒ SA = SHp2.á((SAB), (ABCD))= á(SM, MH)= SMH = 600 ⇒ SM = SH. 2p
3
.
http://boxmath.vn/ 3http://boxtailieu.net
Từ điểm N kẻ NP vuông góc với SM thì dễ thấy NP là khoảng cách giữa hai đường thẳng SA
và CD suy ra NP = ap6. Ta có SH.MN = NP.SM ⇐⇒ SH.AB = ap6.SH ⇐⇒ AB = 2p2a
Trong tam giác SAM ta có SA2 = AM2 +SM2 ⇐⇒ 2.SH2 = 4SH
2
3
+2a2 ⇐⇒ SH = ap3.
Vậy VS.ABCD =
1
3
SH.dt(ABCD)= a
p
3.8a2
3
= 8
p
3a3
3
.
Bài 1.6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a,BC = 2a. Cạnh bên
SA vuông góc với mặt đáy, SA = a. Gọi H là hình chiếu của A trên SB. Tính thể tích khối
chóp H.ACD theo a và côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).
Giải:
A
B C
D
S
H
E
K
Kẻ HE//SA(E ∈ AB)⇒ HE ⊥ (ABCD).
Trong tam giác SAB có AB2 = BH.SB ⇒ BH
SB
= AB
2
SB2
= 1
2
= HE
SA
⇒ HE = a
2
Diện tích ∆ACD là S∆ACD = 12 AD.CD = a2 ⇒ thể tích H.ACD là VH.ACD = 13 HE.S∆ACD = a
3
6
SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BC mà BC ⊥ AB nên BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ HA mà HA ⊥ SB nên HA ⊥
