Chương 1 KHỐI ĐA DIỆN Mức độ 3 Phần 2 là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Câu 1: (THPT Triệu Sơn 1-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp tam giác có đáy là tam giác đều cạnh , và vuông góc với mặt phẳng. Gọi và lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên các đường thẳng và. Thể tích của khối chóp bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D
Thể tích khối chóp là .
Do nên các tam giác cân tại .
Theo đề bài , là hình chiếu của trên , nên , lần lượt là trung điểm , .
Khi đó: .
Vậy thể tích khối chóp là .
Câu 2: (THPT Triệu Sơn 1-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng . Gọi , lần lượt là trung điểm của các cạnh cạnh , . Thể tích khối tứ diện là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Gọi là tâm của hình vuông .
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là góc .
Xét tam giác , ta có .
Lại có là trung điểm của nên
là trung điểm của nên
Do đó, thể tích khối là .
Câu 3: (THPT Triệu Sơn 1-lần 1 năm 2017-2018) Cho tứ diện có , và . Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng . Biết thể tích của khối tứ diện bằng . Góc giữa hai mặt phẳng và là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Gọi là trung điểm cạnh và là trung điểm cạnh .
Ta có
Tam giác có ; tam giác vuông cân tại và .
Mà: nên
Mặt khác
Tam giác có .
Tam giác có , và
tam giác vuông tại hay .
Câu 4: (THPT Triệu Sơn 1-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng . Mặt bên của hình chóp tạo với mặt đáy một góc . Mặt phẳng chứa và đi qua trọng tâm của tam giác cắt , lần lượt tại và . Thể tích khối chóp là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Gọi là trung điểm cạnh và là tâm hình vuông .
Ta có là hình chóp tứ giác đều nên các mặt bên hợp với đáy các góc bằng nhau
Giả sử
Tam giác vuông tại có .
.
Mặt khác:
Mà là trọng tâm tam giác nên cũng là trọng tâm tam giác .
Ta lại có
Khi đó .
Câu 5: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-MĐ 903 lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp tứ giác đáy là hình bình hành có thể tích bằng . Lấy điểm , lần lượt là trung điểm của cạnh và . Mặt phẳng qua cắt cạnh tại . Khi đó thể tích khối chóp bằng
A. .B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Gọi là giao điểm của hai đường chéo và thì . Khi đó là trung điểm của và .
Trong mặt phẳng : Ta kẻ và cắt tại . Khi đó áp dụng tính đồng dạng của các tam giác ta có : ; .
Vì nên ta có và
.
Suy ra .
Lưu ý :Có thể sử dụng nhanh công thức
Câu 6: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 1 MĐ 904 năm 2017-2018) Cắt khối hộp bởi các mặt phẳng , , , ta được khối đa diện có thể tích lớn nhất là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải :
Chọn C
Khi cắt khối hộp bởi các mặt phẳng trên ta được 5 khối tứ diện , , , , Gọi là thể tích của khối hộp.
Suy ra nên tứ diện có thể tích lớn nhất.
Câu 7: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 1 MĐ 904 năm 2017-2018) Một công ty sữa cần sản xuất các hộp đựng sữa dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông, chứa được thể tích thực là 180ml. Chiều cao của hình hộp bằng bao nhiêu để nguyên liệu sản xuất vỏ hộp là ít nhất?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Gọi là độ dài cạnh đáy, là chiều cao của hình hộp.
Theo bài ra ta có: .
Nguyên liệu sản xuất vỏ hộp là ít nhất khi diện tích toàn phần nhỏ nhất.
.
Dấu bằng xảy ra khi: . Khi đó .
Câu 8: (THPT Kim Liên-Hà Nội năm 2017-2018) Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh , vuông góc với mặt đáy. Gọi là trung điểm . Mặt phẳng đi qua và vuông góc với cắt , lần lượt tại , . Biết . Tính thể tích của khối chóp .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên . Do và đi qua .
. Vậy là trung điểm cạnh . Suy ra vuông cân tại .
Vậy .
Câu 9: (THPT Kim Liên-Hà Nội năm 2017-2018) Cho lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng và . Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Gọi là điểm đối xứng của qua điểm . Khi đó tam giác vuông tại .
.
Mặt khác, ta có nên tam giác vuông cân tại .
.
Suy ra: .
Vậy .
Câu 10: (THPT Kim Liên-Hà Nội năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông và , , là trung điểm của . Tính khoảng cách của hai đường thẳng và .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Tam giác vuông và nên chỉ có thể vuông tại .
Ta có .
Kẻ
.
Tứ diện là tứ diện vuông
Câu 11: (THPT Kiến An-Hải Phòng năm 2017-2018) Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, , . Hình chiếu của lên mặt phẳng là trung điểm của , . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Gọi và lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và tam giác .
Ta có , và .
Áp dụng định lí Cô sin, ta có
.
Diện tích tam giác là .
Do đó .
Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác và là trung điểm . Mặt phẳng trung trực của cắt trục đường tròn ngoại tiếp tam giác tại . Khi đó là tâm mặt cầu cần tìm.
Ta có .
Câu 12: (THPT Kiến An-Hải Phòng năm 2017-2018) Cho tứ diện có ba cạnh , , đôi một vuông góc với nhau, , . Gọi là hình chiếu của điểm trên mặt phẳng . Tính thể tích khối tứ diện .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Từ giả thiết suy ra: cân tại có: .
Gọi là trung điểm của .
Giả sử là trự
