Chương 1 KHỐI ĐA DIỆN Mức độ 4 Phần 1 là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Câu 1: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018) Cho khối hộp chữ nhật có thể tích bằng . Biết ; ; . Mặt phẳng chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện. Thể tích khối đa diện nhỏ hơn bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có: .
.
Câu 2: ----------------------------------- HẾT -----------------------------------(THPT Chuyên Quang Trung-Bình Phước-lần 1-năm 2017-2018) Xét khối tứ diện , , các cạnh còn lại bằng . Tìm để thể tích khối tứ diện lớn nhất.
A. . B. . C. . D. .
Giải:
Chọn D
[Phương pháp tự luận]
Gọi , lần lượt là trung điểm của và .
Ta có tam giác , cân lần lượt tại và . Suy ra .
Ta có: suy ra . Ta được .
Tứ diện có đường cao , đáy là tam giác vuông tại .
Có ;
; . Suy ra .
.
Vậy giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện bằng , đạt khi .
[Phương pháp trắc nghiệm]
Thực hiện như phương pháp tự luận để có được . Nhập hàm số bên vào máy tính.
CALC , được .
CALC , được .
CALC , được .
CALC , được .
Câu 3: (THPT Hoa Lư A-Ninh Bình-lần 1-năm 2017-2018) Một viên đá có hình dạng là khối chóp tứ giác đều với tất cả các cạnh bằng . Người ta cắt khối đá đó bởi mặt phẳng song song với đáy của khối chóp để chia khối đá thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính diện tích của thiết diện khối đá bị cắt bởi mặt phẳng nói trên. (Giả thiết rằng tổng thể tích của hai khối đá sau vẫn bằng thể tích của khối đá đầu).
A. . B. . C. . D.
Lời giải
Chọn D
Gọi , , , lần lượt là giao điểm của mặt phẳng cắt với cạnh bên , , ,
và . Do
Đặt (Định lý Thales) và .
Ta có
Theo ycbt : .
Mặt khác
.
Câu 4: (THPT Chuyên Bắc Ninh-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp có đáy là hình thang cân, . Hai mặt phẳng và cùng vuông góc với mặt phẳng . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Tính cosin góc giữa và , biết thể tích khối chóp bằng .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Cách 1: Gọi là mp đi qua và song song với mp . Khi đó cắt tại, cắt tại , cắt tại . Gọi là giao điểm của và .
Suy ra:, , lần lượt là trung điểm của, và.
Lại có: là hình thang cân có
;.
Nên và .
Xét tam giác vuông tại P:
lần lượt là đường trung bình của tam giác
là đường trung bình của tam giác .
Xét tam giác vuông tại H:
Suy ra: tam giác vuông tại là hình chiếu vuông góc của lên .
góc giữa và là góc
Khi đó:
Xét tam giác vuông tại:
.
Cách 2. Vì là hình thang cân có
;.
nên
Gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ như hình vẽ
Ta có:
. Chọn cùng phương với
Nhận xét:
là vtpt của .Chọn cùng phương với
Gọi là góc góc giữa và . Ta có .
Câu 5: (THPT Sơn Tây-Hà Nội-lần 1-năm 2017-2018) Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh như hình vẽ dưới đây. Người ta cắt phần tô đậm của tấm nhôm rồi gập thành một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng , sao cho bốn đỉnh của hình vuông gập lại thành đỉnh của hình chóp. Tìm giá trị của để khối chóp nhận được có thể tích lớn nhất.
A. . B. . C. . D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Từ hình vuông ban đầu ta tính được . ()
Khi gấp thành hình chóp thì nên ta có .
Từ đó . (Điều kiện )
Thể tích khối chóp : .
Ta thấy lớn nhất khi đạt giá trị lớn nhất
Ta có
Bảng biến thiên
Vậy: lớn nhất khi và chỉ khi
Câu 6: (THPT Sơn Tây-Hà Nội-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp có cạnh còn tất cả các cạnh khác có độ dài bằng . Tính thể tích lớn nhất của khối chóp .
A. B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Gọi là giao điểm của và . Ta có:
nên vuông tại
Do đó:
,
Ta thấy:
Trong hạ . Khi đó:
Dấu xảy ra khi .
Câu 7: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Cho lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh . Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng trùng với trọng tâm tam giác . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng . Khi đó thể tích của khối lăng trụ là
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A
Gọi là trọng tâm tam giác và là trung điểm Ta có
Gọi là hình chiếu vuông góc của lên . Khi đó là đoạn vuông góc chung của và nên Xét tam giác vuông vuông tại có
Xét tam giác vuông vuông tại có
Vậy
Câu 8: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-đề 2-năm 2017-2018) Cho lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh . Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng trùng với trọng tâm tam giác . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng . Khi đó thể tích của khối lăng trụ là
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A
Gọi là trọng tâm tam giác và là trung điểm Ta có
Gọi là hình chiếu vuông góc của lên . Khi đó là đoạn vuông góc chung của và nên Xét tam giác vuông vuông tại có
Xét tam giác vuông vuông tại có
Vậy
Câu 9: (THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Cắt ba góc của một tam giác đều cạnh bằng các đoạn bằng phần còn lại là một tam giác đều bên ngoài là các hình chữ nhật, rồi gấp các hình chữ nhật lại tạo thành khối lăng trụ tam giác đều như hình vẽ. Tìm độ dài để thể tích khối lăng trụ lớn nhất.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Xét tam giác như hình vẽ, đặt
Lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy , , chiều cao nên thể tích khối lăng trụ là
Ta cần tìm để thể tích đạt giá trị lớn nhất.
Xét , có
Từ bảng biến thiên suy ra thể tích đạ
