Chương 2 KHỐI TRÒN XOAY Mức độ 3 Phần 2 là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Câu 1: (THPT Triệu Sơn 1-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Cạnh bên vuông góc với mặt đáy và . Gọi là trung điểm của cạnh . Mặt cầu đi qua bốn điểm , , , có bán kính là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Gọi , lần lượt là trung điểm của , . Gọi là tâm của đường tròn ngoại tiếp , là trục của đường tròn ngoại tiếp suy ra , suy ra thì là giao của mặt phẳng trung trực của cạnh bên và trục của đáy nên là trung điểm của và là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . Do đó tứ giác là hình chữ nhật nên .
Ta có nên trong ta có với là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Suy ra .
Xét vuông tại ta có:
là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
Câu 2: (THPT Triệu Sơn 1-lần 1 năm 2017-2018) Một bình đựng nước dạng hình nón (không có đáy), đựng đầy nước. Người ta thả vào đó một khối cầu không thấm nước, có đường kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là . Biết rằng khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một nửa của khối cầu chìm trong nước (hình bên). Tính thể tích nước còn lại trong bình.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Giả sử , lần lượt là bán kính mặt cầu, bán kính mặt nón.
Xét vuông tại ta có:
Xét vuông tại ta có:
Thể tích nước tràn ra ngoài là
Thể tích khối nón là
Thể tích nước còn lại là .
Câu 3: (THPT Kim Liên-Hà Nội năm 2017-2018) Cho tứ diện có , , các cạnh còn lại có độ dài . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Gọi , lần lượt là trung điểm và .
Ta có: ; tương tự . Suy ra là đường trung trực và là đoạn vuông góc chung của và .
Gọi là tâm mặt cầu ngoại tiếp thì thuộc .
Xét tam giác vuông tại có: .
Xét tam giác vuông tại có: .
Lại có: .
Vậy bán kính cần tìm là .
Câu 4: (THPT Kim Liên-Hà Nội năm 2017-2018) Trên bàn có một cốc nước hình trụ chứa đầy nước, có chiều cao bằng lần đường kính của đáy ; một viên bi và một khối nón đều bằng thủy tinh. Biết viên bi là một khối cầu có đường kính bằng của cốc nước. Người ta từ từ thả vào cốc nước viên bi và khối nón đó ( như hình vẽ ) thì thấy nước trong cốc tràn ra ngoài. Tính tỉ số thể tích của lượng nước còn lại trong cốc và lượng nước ban đầu ( bỏ qua bề dày của lớp vỏ thủy tinh).
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Gọi bán kính đường tròn đáy của hình trụ là .
Theo giả thiết và hình vẽ thì:
Hình trụ có bán kính đường tròn đáy là , chiều cao là .
Mặt cầu có bán kính là .
Hình nón có bán kính đường tròn đáy là , chiều cao là .
Thể tích lượng nước ban đầu bằng thể tích khối trụ nên .
Thể tích lượng nước tràn ra bằng tổng thể tích khối nón và khối cầu nên .
Thể tích lượng nước còn lại trong cốc là .
Do đó tỉ số thể tích của lượng nước còn lại và lượng nước ban đầu là: .
Câu 5: (THPT Kiến An-Hải Phòng năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ đều , biết góc giữa hai mặt phẳng và bằng , diện tích tam giác bằng . Tính diện tích xung quanh của hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Gọi là trung điểm . Khi đó ta có ,
Suy ra: . Gọi là trọng tâm tam giác .
Đặt , . Ta có .
Nên .
Khi đó: và .
Suy ra diện tích xung quang khối trụ là: .
Câu 6: (THPT Kiến An-Hải Phòng năm 2017-2018) Cho nửa hình tròn tâm , đường kính . Người ta ghép hai bán kính , lại tạo thành mặt xung quanh của hình nón. Tính góc ở đỉnh của hình nón đó.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Gọi , lần lượt là bán kính của nửa hình tròn tâm và hình nón.
Hình nón có đường sinh và chu vi đường tròn đáy bằng nửa chu vi hình tròn tâm , đường kính . Do đó .
Gọi là tâm đường tròn đáy của hình nón.
Xét vuông tại có : .
Do đó góc ở đỉnh của hình nón bằng .
Câu 7: (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Một đội xây dựng cần hoàn thiện một hệ thống cột tròn của một cửa hàng kinh doanh gồm chiếc. Trước khi hoàn thiện mỗi chiếc cột là một khối bê tông cốt thép hình lăng trụ lục giác đều có cạnh ; sau khi hoàn thiện (bằng cách trát thêm vữa vào xung quanh) mỗi cột là một khối trụ có đường kính đáy bằng . Chiều cao của mỗi cột trước và sau khi hoàn thiện là . Biết lượng xi măng cần dùng chiếm lượng vữa và cứ một bao xi măng thì tương đương với xi măng. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu bao xi măng loại để hoàn thiện toàn bộ hệ thống cột?
A. bao. B. bao. C. bao. D. bao.
Lời giải
Chọn C
Thể tích cây cột cần hoàn thiện là: .
Số bao xi măng cần dùng là:
Câu 8: (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật , . Mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Gọi là trung điểm
Dễ thấy .
Dựng trục qua và song song với .
Gọi là trọng tâm tam giác . Đường thẳng đi qua vuông góc với mặt phẳng cắt tại là tâm khối cầu ngoại tiếp hình chóp .
Ta có .
.
.
Suy ra thể tích khối cầu ngoại tiếp là:
.
Câu 9: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 1
