Chương 3 QUAN HỆ VUÔNG GÓC Mức độ 3 Phần 2 là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 11 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Câu 1: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-MĐ 903 lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng , tâm . Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Biết rằng góc giữa và bằng , cosin góc giữa và mặt phẳng bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Cách 1:
Gọi , lần lượt là trung điểm , thì là hình chiếu của trên .
Gọi là trung điểm thì là hình chiếu của trên .
Theo bài ra: .
Áp dụng định lý cos trong tam giác ta được:
.
Suy ra: , ; .
.
Ta lại có: là hình bình hành ( vì và song song và cùng bằng ).
Gọi là giao điểm của và , khi đó góc giữa và mặt phẳng là .
.
Cách 2:
Gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ sao cho:
,,,,,,.
là trung điểm của :
là trung điểm của :
,.
Ta có :
Khi đó
VTCP của là
Gọi là góc giữa và
Ta có : .
Câu 2: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-MĐ 903 lần 1-năm 2017-2018) Hình hộp có và . Khoảng cách giữa các đường thẳng chứa các cạnh đối diện của tứ diện bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Theo bài ra thì là tứ diện đều cạnh bằng . Khoảng cách giữa các đường thẳng chứa các cạnh đối diện của tứ diện là .
Ta có: .
Câu 3: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 1 MĐ 904 năm 2017-2018) Cho lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh Hình chiếu của lên mặt phẳng trùng với trung điểm Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và biết góc giữa hai mặt phẳng và bằng .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Gọi là trung điểm , theo giả thiết .
Vì là tam giác đều nên . Vậy .
Gọi là trung điểm , là trung điểm . Ta có , là đường trung bình nên . Mà góc giữa hai mặt phẳng và bằng góc giữa hai mặt phẳng và là góc .
Vì nên
Trong mặt phẳng , kẻ tại . Ta thấy mà , nên .
Vì nên .
Ta có .
Trong có ; nên
.
Câu 4: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 1 MĐ 904 năm 2017-2018) Cho hình chóp có Tam giácvuông tại B , . Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng và
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Cách 1:
Kẻ . Áp dụng công thức trong đó ,
, là góc hợp bởi hai mặt phẳng và
Dễ thấy tam giác vuông tại B và .
, . Vậy
Cách 2:
Gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho
,,,.
Chọn cùng phương với
Chọn cùng phương với
Chọn cùng phương với
Câu 5: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 1 MĐ 904 năm 2017-2018) Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tạivà Biết và . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B
Cách 1: Kẻ . Ta có
mà ;
Tam giác có là đường trung bình nên
Vậy
Cách 2: Dùng phương pháp thể tích:
;
; .
Câu 6: (THPT Kiến An-Hải Phòng năm 2017-2018) Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tam giác đều, là trung điểm của . Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
* Gọi là trung điểm của và là trung điểm của . Ta có và . Hạ .
* Khi đó .
* Lại có .
* Suy ra . Vậy .
Câu 7: (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Cho hình lập phương . Gọi , lần lượt là trung điểm , . côsin của góc hợp bởi và là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Cách 1:
Chọn hệ véc tơ cơ sở là ,,.Giả sử độ dài cạnh của hình lập phương là .
Ta có:
,
,
Vậy côsin của góc hợp bởi và là
Cách 2:
Gọi độ dài cạnh hình lập phương là
Chọn hệ trục tọa độ sao cho , , , .
Khi đó, tọa độ các đỉnh: , , , , , .
là trung điểm của
là trung điểm của
Do đó ;
Cosin góc giữa và là
.
Câu 8: (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp với đáy là hình thang vuông tại , đáy lớn , đáy nhỏ , vuông góc với đáy, . Gọi là trung điểm , là mặt phẳng qua và vuông góc với . Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng có diện tích bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Gọi , và lần lượt là trung điểm của , và .
Ta có: , , .
Do đó, thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng là tứ giác .
Dễ thấy là hình thang vuông tại , và , .
Vậy diện tích hình thang là: .
Câu 9: (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp có đáy là hình thoi. Biết rằng tứ diện là tứ diện đều cạnh . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Gọi , là trọng tâm của tam giác ; gọi , lần lượt là trung điểm của và ; gọi là hình chiếu vuông góc của lên .
Khi đó, ta có: .
Do , suy ra vuông tại .
Khi đó, ta có: .
Trong tam giác vuông vuông tại , có: ;
Suy ra .
Câu 10: (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-lần 2 năm 2017-2018) Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , , và . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng . Gọi là trung điểm của cạnh . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Trong mặt phẳng , kẻ cắt
tại .
Ta có .
Hạ đường cao từ xuống tại .
Kẻ .
Khi đó .
Ta có .
Ta lại có .
Do , tứ giác có:
suy ra là hình chữ nhật.
.
Ta có .
.
Câu 11: (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-lần 2 năm 2017-2018) Cho hình chóp có , đáy là hình vuông cạnh ,. Gọi là trung điểm của , mặt phẳng qua và vuông góc với . Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Kẻ với .
Ta có .
Kẻ với
