Chuong3 quanhevuonggoc là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 11 được cungthi.online tổng hợp và biên soạn từ các nguồn chia sẻ trên Internet. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn luyện và học tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Traàn Thaønh Minh – Phan Löu Bieân - Traàn Quang Nghóa
H ÌNH H OÏC 11
Ch öông 3.
QUAN HEÄ vuoâng Goùc
www.saosangsong.com.vn
Chương 3..Quan hệ vuông góc trong không gian
www.saosangcong.com.vn
2
2
Chöông III : QUAN HEÄ VUOÂNG GOÙC TRONG KHOÂNG GIAN
§1 . Vectô trong khoâng gian
A . Toùm taét giaùo khoa .
Vectô , caùc pheùp toùan vectô trong khoâng gian ñöôïc ñònh nghóa hoøan toøan gioáng nhö trong hình hoïc phaúng
vaø chuùng cuõng coù caùc tính chaát töông töï . Ta chæ xeùt moät soá tinh chaát cuûa vectô trong khoâng gian .
1 . Söï ñoàng phaúng cuûa caùc vectô .
Ñònh nghóa : Ba vectô goïi laø ñoàng phaúng khi ba ñöôøng thaúng chöùa ba vectô naøy cuøng song song vôùi moät
maët phaúng .
2 . Ñieàu kieän ñeå ba vectô ñoàng phaúng :
Ñònh lyù 1 : Ba vectô ñoàng phaúng khi vaø chæ khi coù caùc soá m , n sao cho c m
A
B
C
D
I
J
, ,a b c a nb= + . Caùc soá m ,
n laø duy nhaát .
0ma nb pc+ + = , ,a b c
0ma nb pc
Heä quaû 1 : Neáu ta coù : vaø moät trong ba soá m , n , p khaùc 0 thì ba vectô ñoàng
phaúng .
Heä quaû 2 : Neáu laø ba vectô khoâng ñoàng phaúng vaø , ,a b c + + = thì ta suy ra ñöôïc m = n = p
= 0 .
dÑònh lyù 2 : Neáu laø ba vectô khoâng ñoàng phaúng vaø , ,a b c laø moät vectô baát kyø thì ta luoân luoân coù :
d ma nb pc= + + vaø caùc soá m , n , p laø duy nhaát .
B . Giaûi toùan .
Daïng toùan 1 : Söû duïng caùc pheùp toùan veà vectô vaø caùc tính chaát .
Caàn nhôù :
;AC AB BC AC BC BA= + = − Quy taéc ba ñieåm : Vôùi moïi ba dieåm A , B , C ta coù :
0 2 ,IM IN OM ON OI O⇔ + = ⇔ + = ∀ I laø trung ñieåm cuûa ñoïan MN .
AB k AC⇔ = Ba ñieåm A , B , C thaúng haøng .
Caùc coâng thöùc veà tích voâ höôùng :
22 ; . . cos( , ) ; . 0
( ) ...
AB AB a b a b a b a b a b
a b c ab ac
= = ⊥ ⇔
+ = +
=
Ví duï 1 : Cho töù dieän ABCD . I , J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø CD . Chöùng minh raèng :
1 ( )
2
IJ AC AD AB= + −
Giaûi :
IJ AJ AI= − ( quy taéc ba ñieåm ) maø : Ta coù :
1 ( );
2 2
1AJ AC AD AI A= + = B ( quy taéc trung ñieåm ) neân
1 ( )
2
IJ AC AD A= + − B .
Chương 3..Quan hệ vuông góc trong không gian
www.saosangcong.com.vn
3
3
Ví duï 2 : Cho hình hoäp ABCD.A’B’C’D’ . Ñöôøng cheùo AC’ caét maët phaúng (A’BD) taïi G . Chöùng minh 1
raèng G laø troïng taâm cuûa tagiaùc A’BD . 1
Giaûi :
Goïi G laø troïng taâm tam giaùc A’BD , ta chæ caàn chöùng minh A , G , C’
thaúng haøng thì G
A
C'B'
A'
CB
D'
D1 seõ truøng vôùi G ( vì cuøng laø giao ñieåm cuûa ñöôøng
thaúng AC’ vôùi maët phaúng ( A’BD)) vaø baøi toùan ñöôïc chöùng minh .
1' 0 ( '
3
GA GB GD AG AA AB AD+ + = ⇔ = + + ) maø Ta coù : G'
AB AD AC+ = neân
'A ' ' ' ' 'A AB AD AA AC AA A C AC+ + = + = + = . Vaäy :
1A '
3
G AC=
;
hay ba ñieåm A , G , C’ thaúng haøng .
Ví duï 3 : Cho töù dieän ABCD . E , F laø nhöõng ñieåm xaùc ñònh bôûi : BE k BC AF k AD= = . Chöùng minh
raèng trung ñieåm cuûa caùc ñoïan AB , CD , EF thaúng haøng .
Giaûi :
Goïi I , J , K laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB , CD , EF .Ta coù
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
1
2
1 1
2 2
1 ( 0)
2
2
( 0)
2
IJ ID IC
IK IE IF IB BE IA AF
k BC k AD do IA IB
k IC IB ID IA
k IC ID do IA IB
k IJ
= +
= + = + + +
= + + =
= − + −
= + + =
=
)
Vaäy I , J , K thaúng haøng .
Ví duï 4 : Cho töù dieän ABCD coù : AB = 2a ; CD = 2b ; I , J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB , CD vaø IJ = 2c .
M laø moät ñieåm baát kyø . Chöùng minh raèng :
a) MA2 + MB2 = 2MI2 + 2a2 .
b) MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 4MG2 + 2( a2+ b2+2 c2 ) G laø troïng taâm cuûa töù dieän ). Suy ra vò trí cuûa
ñieåm M ñeå ( MA2+ MB2+ MC2+ MD2) ñaït giaù trò nhoû nhaát .
Giaûi :
a) Ta coù :
22 2 2 2
22 2 2 2
2 2 2 2
2 2
( ) 2 .
( ) 2 .
2 2 2 ( ) (
2 2 ( 0)
MA MA MI IA MI IA MI IA
MB MB MI IB MI IB MI IB
MA MB MI a MI IA IB do IA IB a
MI a do IA IB
= = + = + +
= = + = + +
+ = + + + = =
= + + =
b) Töông töï : MC2+ MD2 = 2MJ2 + 2b2 .
K
A
F
I
DB
E J
C
Chương 3..Quan hệ vuông góc trong không gian
www.saosangcong.com.vn
4
4
2
C'B'
A'
CB
A
D'
D
M
N
I
E
C'B'
A'
CB
A
D'
D
M
N
Suy ra : MA + MB2 2+ MC + MD2 = 2( MI2 + MJ2 ) + 2( a2 + b2 ) . Maø MI2 + MJ2 = 2MG2 2+2c
( chöùng minh töông töï nhö caâu a) .
Vaäy : MA2+ MB2+ MC2+ MD2 = 2( 2MG2 2+ 2c ) + 2( a2 + b2 ) = 4MG2 + 2( a2 + b2 + 2c2 ) .
Do ñoù : MA2+ MB2+ MC2+ MD2 . Daáu “=” xaûy ra khi MG = 0 hay M truøng vôùi G .
Toùm laïi ( MA
2 2 22( 2 )a b c≥ + +
2+ MB2+ MC2+MD2 ) ñaït giaù trò nhoû nhaát khi ñieåm M truøng vôùi troïng taâm cuûa töù dieän .
D
C
B
A
J
I
Ví duï 5 : Cho hình hoäp ABCD.A’B’C’D’, coù B’C’ = CD . M , N laø hai ñieåm löu ñoäng laàn löôït treân hai
caïnh B’C’ vaø CD sao cho B’M = CN . E laø taâm cuûa maët BCC’B’ vaø I laø trung ñieåm cuûa MN .
' ' ,B C CDEI theo hai vec tô . Suy ra raèng ñieåm I löu ñoäng treân moät ñöôøng thaúng coá Bieåu thò vectô
