Chuyen de 6. To hop, xac suat, nhi thuc Newotn là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 11 được cungthi.online tổng hợp và biên soạn từ các nguồn chia sẻ trên Internet. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn luyện và học tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 113 -
Chuyên đề
Bài 1. NHỊ THỨC NEWTON
I. Kiến thức cơ bản cần nắm vững
Nhị thức Newton là khai triển tổng (hiệu) lũy thừa có dạng:
0 1 1 2 2 2 1 1
0
( ) . . .
n
n k n k k n n n n n n n
n n n n n n
k
a b C a b C a C a b C a b C ab C b− − − − −
=
+ = = + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + +∑
Nhận xét trong khai triển nhị thức:
+ Trong khai triển ( )na b± có 1n + số hạng và các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu
và số hạng cuối thì bằng nhau: k n kn nC C
−= .
+ Số hạng tổng quát dạng: 1 . .
k n k k
n nT C a b
−
+
= và số hạng thứ N thì 1k N= − .
+ Trong khai triển ( )na b− thì dấu đan nhau, nghĩa là ,+ rồi ,− rồi ,+ ….…
+ Số mũ của a giảm dần, số mũ của b tăng dần nhưng tổng số mũ a và b bằng n.
+ Nếu trong khai triển nhị thức Niutơn, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì sẽ thu được
những công thức đặc biệt. Chẳng hạn như:
0 1 1 1 0 1• (1 ) 2 .n n n n x n nn n n n n nx C x C x C C C C
− =+ = + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + → + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + =
1
0 1 1 0 1 (1 ) ( 1) ( 1) 0.
x
n n n n n n n
n n n n n nx C x C x C C C C
=−
−• − = − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − ⇒ − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − =
Công thức hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp (thường cho kết hợp với khai triển):
+ Hoán vị: ! .( 1).( 2)...3.2.1, ( 1).nP n n n n n= = − − ≥ .
+ Chỉnh hợp: ( )
!
, 1 .
( )!
k
n
n
A k n
n k
= ≤ ≤
−
.
+ Tổ hợp:
!
, (1 )
!.( )! !
k
k n
n
An
C k n
k n k k
= = ≤ ≤
−
và 1 11
k k k
n n nC C C
+ +
+
+ = .
II. Tìm hệ số hoặc số hạng thỏa mãn điều cho trước
1) Khai triễn dạng: p q n(ax bx )+ kết hợp với việc giải phương trình chứa k k
n n n
A , C , P .
BT 1. Tìm số hạng không chứa x (độc lập với x) trong khai triễn của nhị thức:
a)
12
1
, 0.x x
x
+ ∀ ≠
ĐS: 924. b)
5
3
2
1
x
x
− ⋅
ĐS: 10.−
c)
10
1
2 , 0.x x
x
− ∀ ≠
ĐS: 8064.− d)
12
3
3
x
x
+ ⋅
ĐS: 924.
e)
12
1
, 0.x x
x
+ ∀ >
ĐS: 495. f) ( )
18
5
1
2 , 0 .x x
x
+ >
ĐS: 6528.
g)
7
3
4
1
, 0.x x
x
+ ∀ >
ĐS: 35. h)
17
4 3
3 2
1
, 0.x x
x
+ ∀ ≠
ĐS: 24310.
BT 2. Tìm hệ số của số hạng M và cho biết đó là số hạng thứ mấy trong khai triễn nhị thức:
a) 17(2 3 ) .x y− 8 9 .M x y= ĐS: 9 8 9173 .2 . .C−
b) 25( ) .x y+ 12 13 .M x y= ĐS: 1325 .C
c) 9( 3) .x − 4 .M x= ĐS: 5 593 . .C−
TỔ HỢP – XÁC SUẤT – NHỊ THỨC NEWTON 6
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 114 -
d) 11(1 3 ) .x− 6 .M x= ĐS: 6 6113 . .C
e) 2 12(3 ) .x x− 15 .M x= ĐS: 9 3123 . .C−
f) 2 10( 2 ) .x x− 16 .M x= ĐS: 3360.
g)
40
2
1
, 0.x x
x
+ ∀ ≠
31.M x= ĐS: 340 .C
h)
10
2 2 , 0.x x
x
− ∀ ≠
11.M x= ĐS: 3 3102 . .C−
i) 3 2 7( ) .x x− + 2 .M x= ĐS: 35.
j)
10
, 0, 0.
x
xy xy y
y
+ ∀ ≥ ≠
6 2 .M x y= ĐS: 45.
k) 2 3 5(1 ) .x x x+ + + 10 .M x= ĐS: 101.
l) 5 2 10(1 2 ) (1 3 ) .x x x x− + + 5 .M x= ĐS: 3320.
m) 4 5 6 7(2 1) (2 1) (2 1) (2 1) .x x x x+ + + + + + + 5 .M x= ĐS: 896.
BT 3. Tìm hệ số của số hạng thứ n trong khai triễn nhị thức, ứng với các trường hợp sau:
a)
5
1
, 0.x x
x
+ ∀ ≠
4.n = ĐS: 120.
b) 15(3 ) .x− 13.n = ĐS: 12285.
c)
15
1
, 0.x x
x
− ∀ >
6.n = ĐS: 515 .C
d) 25(2 3 ) .x− 21.n = ĐS: 5 20 20252 .3 . .C
BT 4. Tìm hệ số của một số hạng hoặc tìm một số hạng (dạng có điều kiện)
a) Cho số nguyên dương n thỏa mãn 3 15 .n nC C= Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị
thức Newton của 3
4
2 1
, 0
5
n
x x
n x
+ >
−
? ĐS: 47 35.C =
b) Tìm hệ số của 4x trong khai triển biểu thức 3
2
, 0,
n
x x
x
− ∀ ≠
biết n là số tự nhiên thỏa mãn
hệ thức: 6 24 . 454
n
n nC n A
−
−
+ = ? ĐS: 8; 1792.n = −
c) Tìm số hạng độc lập với x trong khai triển: 3
5 28
1
. , 0,
n
x x x
x
+ ∀ ≠
biết rằng n là số tự nhiên
thỏa mãn điều kiện: 1 2 79n n nn n nC C C
− −+ + = ? ĐS: 792.
d) Cho
3 1
5log 9 75
x
a
− +
= và
1
5
1
log (3 1)
55
x
b
−− +
= . Tìm các số thực ,x biết rằng số hạng chứa 3a trong khai
triển Newton: 8( )a b+ bằng 224 . ĐS: 1 2.x x= ∨ =
e) Tìm các giá trị của ,x biết trong khai triển 5lg(10 3 ) ( 2)lg 32 2
x
n
x− − +
có số hạng thứ 6 bằng 21
và 1 3 22n n nC C C+ = . ĐS: 0 2x x= ∨ = .
f) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn: 2 2 23 2 3 15n nC A n+ = + . Tìm số hạng chứa
10x trong khai
triển nhị thức Newton: 3
2
3
2 , 0
n
x x
x
− ∀ ≠
. ĐS: 4 6 4 1010 .2 .3 .C x .
g) Cho khai triển: 21 2(1 2 ) ...
n n
o nx a a x a x a x+ = + + + + với n
∗∈ℕ . Biết rằng 3 22014a a= .
Tìm n ? ĐS: 6044n = .
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com
