Chuyên đề mặt nón là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.online tổng hợp và biên soạn từ các nguồn chia sẻ trên Internet. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn luyện và học tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Nhóm Tài liệu dạy thêm
CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU Trang 1 | LTTN
MẶT NÓN
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Mặt nón tròn xoay
Trong mặt phẳng P , cho hai đường thẳng d và cắt nhau
tại O và chúng tạo thành góc với 0 00 90 . Khi quay
P xung quanh trục với góc không thay đổi được gọi
là mặt nón tròn xoay (gọi tắt là mặt nón) đỉnh O (hình 1).
Đường thẳng gọi là trục, đường thẳng d được gọi là
đường sinh và góc 2 gọi là góc ở đỉnh.
2. Hình nón tròn xoay
Cho OIM vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông OI thì
đường gấp khúc OIM tạo thành một hình, gọi là hình nón
tròn xoay (gọi tắt là hình nón) (hình 2).
Đường thẳng OI gọi là trục, O là đỉnh, OI gọi là đường
cao và OM gọi là đường sinh của hình nón.
Hình tròn tâm I , bán kính r IM là đáy của hình nón.
Phần mặt tròn xoay sinh bởi các điểm trên cạnh OM khi
quay quanh OI gọi là mặt xung quanh của hình nón.
Khối nón tròn xoay (gọi tắt là khối nón) là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón
tròn xoay, kể cả hình nón đó.
3. Một số tính chất
a) Nếu cắt hình nón bởi mặt phẳng P đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau:
P cắt hình nón theo hai đường sinh giao tuyến là tam giác cân.
P tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh ( P là mặt phẳng tiếp diện của hình nón).
b) Nếu cắt hình nón bởi mặt phẳng P không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau:
Nếu P vuông góc với trục hình nón giao tuyến là một đường tròn.
Nếu P song song với 2 đường sinh hình nón giao tuyến là một nhánh của hypebol.
Nếu P song song với 1 đường sinh hình nón giao tuyến là một đường parabol.
4. Công thức diện tích và thể tích của hình nón
Cho hình nón có chiều cao là h , bán kính đáy r và đường sinh là l thì có:
Diện tích xung quanh:
xq
S rl .
Diện tích toàn phần hình nón:
tp xq đáy
2S S S rl r .
O d
O
Hình 1.
Hình 2.
O
I
M
Nhóm Tài liệu dạy thêm
CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU Trang 2 | LTTN
Thể tích khối nón:
nón đáy
2
1 1
.
3 3
V S h r h .
B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 1: Cho tam giác vuông OIM quanh cạnh góc vuông OI tạo thành một hình nón tròn
xoay. Biết góc 30IOM và cạnh IM a . Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay
và thể tích của khối nón tròn xoay được tạo nên bởi hình nón tròn xoay trên.
Giải:
Ta có: r IM a .
2
sin
IM
l OM a
IOM
, 2 2 3h OI OM IM a .
Diện tích xung quanh của hình nón:
xq
2.2 2S rl a a a .
Thể tích của khối nón:
3
2 21 1 33
3 3 3
a
V r h a a .
Ví dụ 2: Một hình nón có đường kính đáy là 2 3a , góc ở đỉnh là 0120 . Tính diện tích toàn
phần của hình nón và thể tích của khối nón trên.
Giải:
Ta có 3r IA a , 60IOA nên
3
2
sin 60 3
2
IA a
l OA a , 2 2 2 24 3 .h OI OA IA a a a
Diện tích xung quanh của hình nón:
xq
23.2 2 3S rl a a a .
Diện tích đáy của hình nón:
đáy
2 23S r a .
Diện tích toàn phần của hình nón: tp xq đáy 2 2 22 3 3 2 3 3S S S a a a .
Thể tích của khối nón:
đáy
2 3
1 1
. 3 .
3 3
V S h a a a .
Ví dụ 3: Cho hình nón có chiều cao 20h cm, bán kính đáy 25r cm. Mặt phẳng đi qua
đỉnh cắt hai đường sinh của hình nón. Biết khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng
là 12 cm. Tính diện tích thiết diện đó.
Giải:
Ta có cắt hình nón theo thiết diện là tam giác cân OAB với
,A B là hai điểm nằm trên đường tròn đáy.
Gọi H là trung điểm AB khi đó IH AB .
Mà OI AB suy ra 1AB OIH .
Kẻ IK OH , K nằm trên OH .
O
I
M
30
K
I
A
h
B
r
H
O
O
I
A
120
B
Nhóm Tài liệu dạy thêm
CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU Trang 3 | LTTN
Từ 1 suy ra IK AB . Do đó IK OAB . Theo giả thiết 12IK cm.
Tam giác OIH vuông tại I nên
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 . 20.12
15
20 12
OI IK
IH
IK IH OI OI IK
cm.
2 2 2 220 15 25OH OI IH cm.
2 2 2 225 15 20AH IA IH cm 40AB cm.
Diện tích thiết diện:
1 1
. .25.40 500
2 2
S OH AB cm2.
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Cho hình nón đỉnh S có thiết diện đi qua trục là tam giác vuông cân SAB có cạnh
huyền bằng 2a . Tính diện tích toàn phần của hình nón và thể tích của khối nón tương ứng.
Đáp án:
2 3(1 2) 2
;
2 12tp
a a
S V .
Bài 2. Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là S có O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh
bằng 2a và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 060 . Tính diện tích xung quanh
xq
S của hình nón và thể tích của khối nón tương ứng.
Đáp án:
3
2 6;
12xq
a
S a V .
Bài 3. Cho hình nón tròn xoay có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có diện tích
bằng 22a . Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón tướng ứng.
Đáp án:
3
2 2 22 2; .
3xq
a
S a V
Bài 4. Cho hình lăng trụ tứ giác đều .ABCD A B C D có cạnh đáy bằng a , chiều cao 2a . Biết
rằng O là tâm của A B C D và C là đường tròn nội tiếp đáy ABCD . Tính diện tích xung
