ĐẠI SỐ CHƯƠNG 1 TUONG GIAO là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Nguyễn Xuân Nam
CHỦ ĐỀ 6. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA
1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Xét hàm số bậc ba có đồ thị và hàm số bậc nhất có đồ thị .
Lập phương trình hoành độ giao điểm của và :
Phương trình là phương trình bậc ba nên có ít nhất một nghiệm. Ta có 2 trường hợp:
Trường hợp 1: Phương trình có “nghiệm đẹp”.
Thường thì đề hay cho nghiệm thì khi đó:
Khi đó:
+ và có ba giao điểmphương trình có ba nghiệm phân biệt phương trình có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm . (Đây là trường hợp thường gặp)
+ và có hai giao điểmphương trình có hai nghiệm phân biệt phương trình có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm hoặc phương trình có nghiệm kép khác .
+ và có một giao điểmphương trình có một nghiệmphương trình vô nghiệm hoặc phương trình có nghiệm kép là .
Trường hợp 2: Phương trình không thể nhẩm được “nghiệm đẹp” thì ta biến đổi phương trình sao cho hạng tử chứa tất cả nằm bên vế trái, các hạng tử chứa tham số nằm bên vế phải, nghĩa là .
Ta khảo sát và vẽ bảng biến thiên hàm số và biện luận số giao điểm của và theo tham số .
2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tìm giao điểm của đồ thị và đường thẳng .
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm: . Vậy có ba giao điểm
Ví dụ 2: Cho hàm số có đồ thị là . Tìm m đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm (1)
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có ba nghiệm phân biệt.
có hai nghiệm phân biệt khác
.
Vậy thỏa yêu cầu bài toán.
Ví dụ 3: Cho hàm số có đồ thị . Tìm để đường thẳng cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt.
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm của và :
Yêu cầu bài toán có hai nghiệm phân biệt khác 0
.
Vậy thỏa yêu cầu bài toán.
Ví dụ 4: Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là
.
Vì không là nghiệm của phương trình, nên phương trình tương đương với
Xét hàm số với , suy ra . Vậy
.
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị cắt trục hoành tại một điểm duy nhất . Vậy thỏa yêu cầu bài toán.
Ví dụ 5: Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành:
Phương trình là phương trình hoành độ giao điểm của đường và đường thẳng . Số nghiệm của bằng số giao điểm của và .
Khảo sát và vẽ bảng biến thiên của hàm số .
Tập xác định .
Đạo hàm .
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy có ba nghiệm phân biệt
.
Ví dụ 6: Gọi là đường thẳng đi qua điểm với hệ số góc . Tìm để đường thẳng cắt đồ thị hàm sốtại ba điểm phân biệt và tam giác có diện tích bằng (O là gốc tọa độ).
Hướng dẫn giải
Đường thẳng đi qua và có hệ số góc nên có dạng , hay
.
Phương trình hoành độ giao điểm của và là:
cắt tại ba điểm phân biệtphương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác
.
Khi đó . Vậy các giao điểm của hai đồ thị lần lượt là
.
Tính được . Khi đó
.
Vậy thỏa yêu cầu bài toán.
II. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG
1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Cho hàm số có đồ thị và đường thẳng có đồ thị .
Lập phương trình hoành độ giao điểm của và :
Đặt ta có phương trình
và có bốn giao điểm có bốn nghiệm phân biệtcó hai nghiệm dương phân biệt phương trình thỏa . (Trường hợp này thường gặp)
và có ba giao điểm có ba nghiệm phân biệt có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm dương và một nghiệm .
và có hai giao điểm có hai nghiệm phân biệt có nghiệm kép dương hoặc có hai nghiệm trái dấu.
và không có giao điểm vô nghiệm vô nghiệm hoặc chỉ có nghiệm âm.
và có một giao điểm có một nghiệm có nghiệm và một nghiệm âm.
2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tìm giao điểm của đồ thị và trục hoành.
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm:
Vậy có hai giao điểm:
Ví dụ 2: Tìm để phương trình có bốn nghiệm phân biệt.
Hướng dẫn giải
Phương trình:
Phương trình là phương trình hoành độ giao điểm của hai đường và đường thẳng . Số nghiệm của bằng số giao điểm của và .
Khảo sát và vẽ bảng biến thiên của hàm số .
Tập xác định .
Đạo hàm .
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy có bốn nghiệm phân biệt . Vậy thỏa yêu cầu bài toán.
Ví dụ 3: Cho hàm số . Định m để đồ thị (Cm) cắt đường thẳng tại bốn điểm phân biệt.
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của và :
.
Đặt , phương trình trở thành
.
và có bốn giao điểm có bốn nghiệm phân biệt có hai nghiệm dương phân biệt.
.
Vậy thỏa yêu cầu bài toán.
Ví dụ 4: Cho hàm số . Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị tại bốn điểm phân biệt có hoành độ đều nhỏ hơn 2.
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm của và : là
.
Đặt , ta có phương trình
Khi đó . Yêu cầu bài toán và . Vậy và thỏa yêu cầu bài toán.
Ví dụ 5: Cho hàm số có đồ thị là . Tìm m để đồ thị cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm:
Đặt , phương
