ĐẠI SỐ CHƯƠNG 3 TICH PHAN là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Nguyễn Xuân Nam
CHỦ ĐỀ 2. TÍCH PHÂN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa
Cho là hàm số liên tục trên đoạn Giả sử là một nguyên hàm của trên Hiệu số được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn của hàm số kí hiệu là
Ta dùng kí hiệu để chỉ hiệu số . Vậy .
Nhận xét: Tích phân của hàm số từ a đến b có thể kí hiệu bởi hay Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.
Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số liên tục và không âm trên đoạn thì tích phân là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục Ox và hai đường thẳng Vậy
2. Tính chất của tích phân
1. 2.
3. ( ) 4.
5. .
B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
1. Một số phương pháp tính tích phân
I. Dạng 1: Tính tích phân theo công thức
Ví dụ 1: Tính các tính phân sau:
a) . b) . c) . d) .
Hướng dẫn giải
a) .
b) .
c) .
d) .
Bài tập áp dụng
1) . 2) .
3) . 4) .
II. Dạng 2: Dùng tính chất cận trung gian để tính tích phân
Sử dụng tính chất để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Ví dụ 2: Tính tích phân .
Hướng dẫn giải
Nhận xét: Do đó
Bài tập áp dụng
1) . 2) .
3) . 4) . 5) .
III. Dạng 3: Phương pháp đổi biến số
1) Đổi biến số dạng 1
Cho hàm số liên tục trên đoạn Giả sử hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn và Giả sử có thể viết với liên tục trên đoạn Khi đó, ta có
Ví dụ 3: Tính tích phân .
Hướng dẫn giải
Đặt Ta có Đổi cận:
Khi đó
Bài tập áp dụng
1) . 2) .
3) . 4) .
Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân
Dấu hiệu Có thể đặt Ví dụ
1 Có . Đặt
2 Có . Đặt
3 Có . Đặt
4 Có hoặc biểu thức chứa . Đặt
5 Có hoặc biểu thức chứa . Đặt
6 Có . Đặt
7 Có Đặt
8 Có
Đặt
9 Có . Đặt
2) Đổi biến số dạng 2
Cho hàm số liên tục và có đạo hàm trên đoạn Giả sử hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn sao cho và với mọi Khi đó:
1. Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng
2. : đặt
3. : đặt
4. :
5. hoặc : đặt
Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn. Ví dụ, để tính tích phân thì phải đổi biến dạng 2 còn với tích phân thì nên đổi biến dạng 1.
Ví dụ 4: Tính các tích phân sau:
a) . b) .
Hướng dẫn giải
a) Đặt ta có Đổi cận: .
Vậy
b) Đặt ta có . Đổi cận: .
Vậy
IV. Dạng 4: Phương pháp tính tích phân từng phần.
Định lí : Nếu và là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn thì
,
hay viết gọn là . Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính
Dạng hàm
P(x): Đa thức
Q(x): hay P(x): Đa thức
Q(x): P(x): Đa thức
Q(x): P(x): Đa thức
Q(x):hay
Cách đặt *
* dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân *
* dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân *
* *
* dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân
Thông thường nên chú ý: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”.
Ví dụ 5: Tính các tích phân sau : a) b) .
Hướng dẫn giải
a) Đặt ta có .
Do đó
b) Đặt ta có
Bài tập áp dụng
1) . 2) . 3) . 4) .
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU
Câu 1. Cho hai hàm số , liên tục trên đoạn và số thực tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 2. Cho hàm số liên tục trên và số thực dương . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào luôn đúng?
A. . B. . C. . D. .
Câu 3. Tích phân có giá trị bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 4. Cho số thực thỏa mãn , khi đó có giá trị bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 5. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có tích phân trên đoạn đạt giá trị bằng ?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 6. Trong các tích phân sau, tích phân nào có giá trị khác ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 7. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào thỏa mãn ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 8. Tích phân có giá trị bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 9. Tích phân có giá trị bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 10. Nếu thì giá trị của là
A. . B. . C. . D. .
Câu 11. Tích phân có giá trị bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 12. Cho hàm số và liên tục trên đoạn sao cho và . Giá trị của là
A. . B. . C. . D. .
Câu 13. Cho hàm số liên tục trên đoạn . Nếu thì tích phân có giá trị bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 14. Cho hàm số liên tục trên đoạn . Nếu và thì có giá trị bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 15. Trong các phép tính sau đây, phép tính nào sai?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 16. Cho hàm số liên tục trên đoạn có một nguyên hàm là hàm trên đoạn . Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai ?
A. .
B. với mọi .
C. .
D. Hàm số cho bởi cũng thỏa mãn .
Câu 17. Xét hàm số liên tục trên và các số thực , , tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 18. Xét hai hàm số và liên tục trên đoạn . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Nếu thì .
B. Nếu thì .
C. Nếu thì .
D. Nếu thì .
Câu 19. Cho hai hàm số và liên tục trên đoạn sao cho với mọi . Xét các khẳng định sau:
I. .
II. .
III. .
IV. .
Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định sai?
A. . B. . C. . D. .
Câu 20. Tích phân có giá trị bằng với giá trị của tích phân nào trong các tích phân dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Câu 21. Trong các mệnh
