Đề thi HSG, lớp 10,Trại hè Hùng Vương, lầm XI , năm học 2015 – 2016 (2) là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Đặt mua trọn bộ đề thi HỌC SINH GIỎI môn Toán file word
Cách 1: Soạn tin “ Đăng ký đề HSG môn Toán” gửi đến số 0982.563.365
Cách 2: Đăng ký tại link sau http://dethithpt.com/dangkytoan/
(Đề thi HSG, lớp 10,Trại hè Hùng Vương, lầm XI , năm học 2015 – 2016)
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 (4 điểm)
Giải phương trình sau trên tập số thực
Câu 2 (4 điểm)
Cho ∆ABC có ba góc nhọn và nội tiếp đường tròn (O). Goin H là trực tâm ∆ABC và P là điểm trên đoạn BC (P ≠ B; P ≠ C). Đường thẳng AH cắt đường tròn ngoại tiếp ∆BHC tại T (T ≠ H). Đường thẳng TP cắt đường tròn ngoại tiếp ∆BHC tại K (K ≠ T). Giả sử BK cắt AC tại M; CK cắt AB tại N. Gọi X, Y lần lượt là trung điểm của BN, CM
a) chứng minh rằng tứ giác ANKM nội tiếp.
b) chứng minh rằng có số đo không đổi khi P di động trên BC
Câu 3 (4 điểm)
Xét các số thực dương x,y và z thỏa mãn .
Chứng minh rằng:
Câu 4. (4 điểm)
Với tam thức bậc hai cho phép thực hiện các phép biến đổi sau:
(i) Đổi chỗ a và c cho nhau hoặc,
(ii) Thay đổi x bởi x + t với t là một số thực bất kì.
Bằng cách lặp lại các phép biến đổi trên có thể biến đổi tam thức thành tam thức hay không?
Câu 5. (4 điểm)
Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số có đúng một ước số nguyên tố.
Đáp Án
Câu 1. (1)
Thử lại x = 1 thỏa mãn (1). Vậy phương trình có nghiệm x = 1.
Câu 2. a) Dễ thấy:
Từ đó suy ra
Do đó suy ra tứ giác ANKM nội tiếp
b) Ta có nên T đối xứng với A qua BC.
Do đó , suy ra tứ giác PKB nội tiếp.
Tương tự ta có tứ giác PKMC nội tiếp.
Do đó
Vì X, Y là hai trung điểm tương tự của BN, CM nên , từ đó suy ra
không đổi.
Câu 3. Ta có Do đó
Tương tự ;
Do đó
Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc
Từ (*) và (**) suy ra điều phải chứng minh.
Câu 4.Với tam thức f(x) = , kí hiệu biệt thức của f(x) alf Với phép biến đổi (i). biến đổi thành , suy ra chúng có cùng biệt thứ
Với phép biến đổi (ii), gọi x1, x2 là nghiệm của f1(x) = suy ra x1 + t; x2 + t là nghiệm của
f2(x) = a(x + t)2 + b(x + t) + c.
Vì x1 + x2 = ; x1x2 = nên
Tức là phép biến đổi này không làm thay đổi biệt thức của tam thức. Do đó, các phép biến đổi trên không làm thay đổi biệt thứ ∆ của tam thứ (*)
Mặt khác, các tam thức , có biệt thức ∆ là 8124; 8128.
Do đó, từ (*) suy ra yêu cầu bài toán là không thể thực hiện được.
Câu 5. +) Với n = 0, ta có (không thỏa mãn)
+) Với n = 1, ta có thỏa mãn)
Xét n ≥ 2 ta có suy ra tồn tại các số nguyên dương s, t sao cho s > t và
Ta có suy ra
. Vô lý.
Vậy tất cả các giá trị cần tìm cua rn là n = 1.
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 1
