Đề thi HSG Olympic Toán 11 Trại hè Hùng Vương lần thứ 8 2016 2017 File word có lời giải chi tiết là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Đặt mua trọn bộ đề thi HỌC SINH GIỎI môn Toán file word
Cách 1: Soạn tin “ Đăng ký đề HSG môn Toán” gửi đến số 0982.563.365
Cách 2: Đăng ký tại link sau http://dethithpt.com/dangkytoan/
TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XIIITUYÊN QUANG 2017
ĐỀ THI OLYMPIC MÔN TOÁNLỚP 11Ngày thi: 29 tháng 7 năm 2017
Thời gian làm bài:180 phút (không kể thời gian giao đề)(Đề thi có 01 trang)
Câu 1 (4,0 điểm) Cho dãy số xác định bởi: và với mọi số nguyên dương .
a) Chứng minh rằng:
b) Tìm số thực lớn nhất sao cho với mọi số nguyên dương .
Câu 2 (4,0 điểm) Cho tam giác và , về phía ngoài tam giác dựng các tam giác đều . Gọi theo thứ tự lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng . Chứng minh rằng:
a) Các tam giác là các tam giác đều.
b) đồng quy.
Câu 3 (4,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số thoả mãn
với mọi số thực .
Câu 4 (4,0 điểm) Cho dãy số nguyên xác định bởi: , và với mọi số tự nhiên .
a) Tìm số dư của khi chia cho 4.
b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên .
Câu 5 (4,0 điểm) Xét là số nguyên dương thỏa mãn tính chất: Tồn tại tập con của tập (không nhất thiết phân biệt) sao cho mỗi tập có đúng phần tử và mỗi phần tử của tập đều biểu diễn được dưới dạng trong đó với . Hãy xác định giá trị bé nhất của .
-----HẾT-----
Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ................................................... Số báo danh: .............................
HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XIII
MÔN TOÁN 11
(Hướng dẫn này có 04 trang)
-----
Câu 1 (4,0 điểm) Cho dãy số xác định bởi: và với mọi số nguyên dương .
a) Chứng minh rằng:
b) Tìm số thực lớn nhất sao cho với mọi số nguyên dương .
(Dựa trên đề đề xuất của THPT chuyên Lào Cai)
Hướng dẫn chấm Điểm
4,0
a) Từ giả thiết suy ra và (1). 1,0
Do đó: 1,0
b) Ta chứng minh .
Trước hết ta chứng minh (2) bằng quy nạp.
Với thì hiển nhiên (2) đúng.
Giả sử (2) đúng với . Khi đó: (a).Mặt khác: (b). 1,0
Từ (a), (b) và giả thiết quy nạp ta được . Vậy (2) đúng với . Theo nguyên lí quy nạp thì (2) đúng.Vậy 0,5
Từ nên . Suy ra . Do đó Vậy (đpcm). 0,5
Chú ý. Nếu học sinh chỉ chứng minh được mà chưa chứng minh được thì cho 1 điểm.
Câu 2 (4,0 điểm) Cho tam giác và , về phía ngoài tam giác dựng các tam giác đều . Gọi theo thứ tự lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng . Chứng minh rằng:
a) Các tam giác là các tam giác đều.
b) đồng quy.
(Đề xuất của Tổ ra đề)
Hướng dẫn chấm Điểm
4,0
a) Xét thế hình như hình vẽ (Học sinh chỉ dựa vào thế hình chứng minh thì vẫn cho điểm tối đa)Cách 1. Xét phép quay véc tơ ngược chiều kim đồng hồ. Ta có
Suy ra tam giác đều. Tương tự, tam giác đều. 2,0
Cách 2. Chứng minh các tam giác và bằng nhau. Suy ra tam giác đều. Tương tự, tam giác đều. 2,0
b) Vì nên các đường thẳng không song song.Gọi Q là giao điểm của . Đặt Ta có các điều kiện sau tương đương:
1) đồng quy.
2) thẳng hàng.
3) .
4) .
5) .
6) .
7) (luôn đúng). 2,0
Câu 3 (4,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số thoả mãn
với mọi số thực .
(Đề xuất của Tổ ra đề)
Hướng dẫn chấm Điểm
4,0
Theo giả thiết ta có với mọi Đổi vai trò được Do đó . 1,5
Cho thì . Suy ra với mọi . 1,0
Mặt khác ta được . Vậy . 0,5
Cho ta được với mọi . Vậy . 1,0
Câu 4 (4,0 điểm) Cho dãy số nguyên xác định bởi: , và với mọi số tự nhiên .
a) Tìm số dư của khi chia cho 4.
b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên .
(Đề đề xuất của Tổ ra đề)
Hướng dẫn chấm Điểm
4,0
a) Ta có . Suy ra , do đó . 1,0
b) Cách 1.
Ta chỉ ra và . Đầu tiên ta có Khai triển Newton cho ta: 1,0
Ta có . Suy ra
.
Hay . 1,5
Áp dụng định lý Fermat nhỏ ta được: và . Do công thức truy hồi, suy ra với mọi số tự nhiên . 0,5
Cách 2. Học sinh có thể xét tìm dãy các số dư của modulo 101. Danh sách các số dư của dãy khi chia cho 101 như dưới đây:[0, 1, 3, 8, 21, 55, 43, 74, 78, 59, 99, 36, 9, 92, 65, 2, 42, 23, 27, 58, 46, 80, 93, 98, 100, 0, 1, 3, 8,….]. 2,0
Sau đó học sinh giải thích do tính truy hồi nên dãy các số dư tuần hoàn. Suy ra đpcm. 1,0
Chú ý. Với cách 2, nếu học sinh chỉ tìm một vài số dư mà chưa ra đến số dư lặp (chu kỳ) thì không cho điểm.
Câu 5 (4 điểm) Xét là số nguyên dương thỏa mãn tính chất: Tồn tại tập con của tập (không nhất thiết phân biệt) sao cho mỗi tập có đúng phần tử và mỗi phần tử của đều biểu diễn được dưới dạng trong đó với . Hãy xác định giá trị bé nhất của .
(Đề đề xuất của Tổ ra đề)
Hướng dẫn chấm Điểm
4,0
Ta kí hiệu là tập tất cả các số có dạng trong đó với mọi . Ta có . Thành thử hay . 1,5
Ta chỉ ra 10 chính là giá trị bé nhất có thể của . Với mọi số nguyên không âm ta có thể viết ,trong đó là số tự nhiên và và . 1,5
Với mỗi số thì vì nếu thì , mâu thuẫn. Với mỗi ta đặt Khi đó với mọi , thì , trong đó và . 1,0
-----Hết-----
Ghi chú: Học sinh có thể làm theo nhiều cách khác nhau. Nếu giải đúng thì cho điểm tối đa.
ĐỀ CHÍNH THỨC
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
