Đồ thị hàm số y=f (x) là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.online tổng hợp và biên soạn từ các nguồn chia sẻ trên Internet. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn luyện và học tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Đồ thị hàm số y = f ′(x) GV: Phạm Văn Đức
Mục lục
1 Mở đầu 2
2 Nội dung 3
2.1 Đồ thị hàm số y = f ′(x) và tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
y = f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.1 Một số kiến thức cần nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.3 Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Đồ thị hàm số y = f ′(x) và cực trị của hàm số y = f(x) . . . . . . . 10
2.2.1 Một số kiến thức cần nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.3 Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Một số bài tập khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Tài liệu tham khảo 19
1
Đồ thị hàm số y = f ′(x) GV: Phạm Văn Đức
1 Mở đầu
Trong giải tích, đạo hàm là một công cụ mạnh để giải quyết rất nhiều bài toán.
Giữa hàm số f(x) và đạo hàm của nó f ′(x) có nhiều mối liên hệ chặt chẽ. Điển hình
là sự đồng biến nghịch biến, cực trị. Đạo hàm của một hàm số ngoài việc biểu diễn
dưới dạng các công thức thì nó còn được thể hiện thông qua đồ thị. Việc dựa vào
đồ thị của f ′(x) để tìm ra được các tính chất của hàm số f(x) đưa đến cho chúng
ta những điều thú vị cũng như những bài toán hay.
Trong các đề thi hiện nay, xuất hiện nhiều bài toán có giả thiết là cho đồ thị của
hàm số f ′(x) và yêu cầu chỉ ra các tính chất về sự biến thiên cũng như cực trị và
một số tính chất khác của hàm số f(x). Một yêu cầu mặc dù không phải mới mẻ
nhưng giống như hầu hết các bài toán khác nếu học sinh không nắm vững các kiến
thức liên quan và rèn luyện thường xuyên thì nó trở thành một yêu cầu khó.
2
Đồ thị hàm số y = f ′(x) GV: Phạm Văn Đức
2 Nội dung
2.1 Đồ thị hàm số y = f ′(x) và tính đồng biến, nghịch biến của
hàm số y = f (x)
2.1.1 Một số kiến thức cần nhớ
Định lý:1
Hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu f ′(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến (tăng) trên K.
b) Nếu f ′(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến (giảm) trên K.
Dựa vào đồ thị hàm số f ′(x) ta nhận thấy:
a) f ′(x) > 0 thì x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số f ′(x) nằm phía
trên trục hoành.
b) f ′(x) < 0 thì x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số f ′(x) nằm phía
dưới trục hoành.
Từ đó ta có kết luận:
a) x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số f ′(x) nằm phía trên trục
hoành thì trong khoảng đó hàm số f(x) đồng biến (tăng).
b) x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số f ′(x) nằm phía dưới trục
hoành thì trong khoảng đó hàm số f(x) nghịch biến (giảm).
2.1.2 Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; e]. Đồ thị hàm
số y = f ′(x) như hình vẽ sau đây
x
y
O
y = f ′(x)
a b c d e
1Trang 6, sách giáo khoa Giải tích 12 - NXB Giáo dục.
3
Đồ thị hàm số y = f ′(x) GV: Phạm Văn Đức
Hãy chỉ ra các khoảng đồng biến, nghịch biến và lập bảng biến thiên của hàm số
y = f(x) trên khoảng (a; e).
Lời giải.
Trên các khoảng (a; b) và (c; d) đồ thị hàm số y = f ′(x) nằm phía dưới trục
hoành, tức là f ′(x) < 0 nên trên hai khoảng này hàm số y = f(x) nghịch biến.
Trên các khoảng (b; c) và (d; e) đồ thị hàm số y = f ′(x) nằm phía trên trục
hoành, tức là f ′(x) > 0 nên trên hai khoảng này hàm số y = f(x) đồng biến.
Nói một cách ngắn gọn, dựa vào đồ thị hàm số y = f ′(x) ta có thể biết được dấu
của f ′(x) để từ đó kết luận được sự biến thiên của hàm số y = f(x).
Trên đoạn [a; e], f ′(x) = 0 ⇔ x = a, x = b, x = c, x = d, x = e. Ta lập được
bảng biến thiên của hàm số y = f(x) trên đoạn [a; e] như sau:
x
f ′(x)
f(x)
a b c d e
0 − 0 + 0 − 0 + 0
f(a)
f(b)
f(c)
f(d)
f(e)
Nhận xét:
Khi dựa vào đồ thị hàm số y = f ′(x) ta có thể biết được dấu của f ′(x) và những
điểm mà tại đó f ′(x) = 0. Điều này giúp ta lập được bảng biến thiên của hàm số
y = f(x). Trong nhiều trường hợp, bảng biến thiên cho ta cái nhìn trực quan hơn
về hàm số y = f(x).
Ví dụ 2 (Đề tham khảo thi THPT Quốc gia 2018 - Bộ GD và ĐT). Cho hàm
số y = f(x). Hàm số y = f ′(x) có đồ thị như hình sau
x
y
O
y = f ′(x)
−1 1 4
Hàm số y = f(2− x) đồng biến trên khoảng
A (1; 3). B (2; +∞). C (−2; 1). D (−∞;−2).
Lời giải.
Dựa vào đồ thị hàm số y = f ′(x) ta suy ra f ′(x) < 0⇔
x < −1
1 < x < 4
.
Đặt g(x) = f(2− x), ta có: g′(x) = (2− x)′ · f ′(2− x) = −f ′(2− x).
4
Đồ thị hàm số y = f ′(x) GV: Phạm Văn Đức
Để hàm số g(x) = f(2− x) đồng biến thì
g′(x) > 0⇔ f ′(2− x) < 0⇔
2− x < −1
1 < 2− x < 4
⇔
x > 3
− 2 < x < 1
.
Vậy hàm số y = f(2− x) đồng biến trên các khoảng (−2; 1) và (3; +∞).
Chọn đáp án C
Ví dụ 3 (HK1 chuyên Lê Quý Đôn - Quảng Trị 17 - 18). Cho hàm số f(x)
có đạo hàm liên tục trên R và đồ thị của hàm số y = f ′(x) cho ở hình sau
x
y
0
−1 1 2
−2
−4
Xét hàm số g(x) = f(x2 − 2). Mệnh đề nào dưới đây sai?
A Hàm số g(x) đồng biến trên (2; +∞).
B Hàm số g(x) nghịch biến trên (−1; 0).
C Hàm số g(x) nghịch biến trên (−∞;−2).
D Hàm số g(x) nghịch biến trên (0; 2).
Lời giải.
Dựa vào đồ thị hàm số y = f ′(x) ta có:
