Giải chi tiết 214 bài toán trắc nghiệm ứng dụng thực tiễn Trần Thông là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.online tổng hợp và biên soạn từ các nguồn chia sẻ trên Internet. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn luyện và học tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Quà tặng 08/03 Fanpage Toán Học Bắc Nam
Bài tập toán thực tế Trang 1
Câu 1: Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ một
điểm A trên bờ đến một điểm B trên một hòn đảo. Hòn
đảo cách bờ biển 6km. Giá để xây đường ống trên bờ là
50.000USD mỗi km, và 130.000USD mỗi km để xây
dưới nước. B’ là điểm trên bờ biển sao cho BB’ vuông
góc với bờ biển. Khoảng cách từ A đến B’ là 9km. Vị trí C
trên đoạn AB’ sao cho khi nối ống theo ACB thì số tiền ít
nhất. Khi đó C cách A một đoạn bằng:
A. 6.5km B. 6km C. 0km D.9km
Hướng dẫn giải
Đặt
Chi phí xây dựng đường ống là
Hàm , xác định, liên tục trên và
; ;
Vậy chi phí thấp nhất khi . Vậy C cần cách A một khoảng 6,5km.
Câu 2: Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí có khoảng cách đến bờ
biển .Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí cách một
khoảng .Người canh hải đăng có thể chèo đò từ đến trên
bờ biểnvới vận tốc rồi đi bộ đến với vận tốc .Vị
trí của điểm cách B một khoảng bao nhiêu để người đó đi đến
kho nhanh nhất?
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Đặt .
Ta có: Thời gian chèo đò từ đến là:
Thời gian đi bộ đi bộ đến là:
Thời gian từ đến kho
' ( ) , [0;9] x B C km x
2 36; 9 BC x AC x
2( ) 130.000 36 50.000(9 ) ( ) C x x x USD
( )C x [0;9]
2
13
'( ) 10000. 5
36
x
C x
x
2'( ) 0 13 5 36 C x x x
2 2 2 25 5169 25( 36)
4 2
x x x x
(0) 1.230.000C
5
1.170.000
2
C (9) 1.406.165C
2,5x
A
5AB km C B
7km A M
4 /km h C 6 /km h
M
0km 7 km 2 5 km
14 5 5
km
12
( ) 7 ( )BM x km MC x km ,(0 7)x
A M
2 25
( ).
4
AM
x
t h
C
7
( )
6
MC
x
t h
A
2 25 7
4 6
x x
t
9km
6km
đảo
bờ biển
biển
A
B
B'
Quà tặng 08/03 Fanpage Toán Học Bắc Nam
Bài tập toán thực tế Trang 2
C
B
A
G
Khi đó: , cho
Lập bảng biến thiên, ta thấy thời gian đến kho nhanh nhất khi
Câu 3: Đường dây điện 110KV kéo từ trạm phát (điểm A) trong đất liền ra Côn Đảo
(điểm C). biết khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 60km, khoảng cách từ A đến B là
100km, mỗi km dây điện dưới nước chi phí là 5000 USD, chi phí cho mỗi km dây điện
trên bờ là 3000 USD. Hỏi điểm G cách A bao nhiêu để mắc dây điện từ A đến G rồi từ G
đến C chi phí ít nhất.
A: 40km B: 45km C: 55km D: 60km
Hướng dẫn giải
Gọi (0 100) 100BG x x AG x
Ta có 2 2 2 3600GC BC GC x
Chi phí mắc dây điện: 2( ) 3000.(100 ) 5000 3600f x x x
Khảo sát hàm ta được: 45x . Chọn B.
Câu 4: Một màn ảnh chữ nhật cao 1,4 mét được đặt ở độ cao 1,8 mét so với tầm mắt
(tính từ đầu mép dưới của màn hình). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao cho
góc nhìn lớn nhất. Hãy xác định vị trí đó ? ( BOC gọi là góc nhìn)
A. 2,4AO m B. 2AO m C. 2,6AO m D. 3AO m
Hướng dẫn giải
2
1
64 25
x
t
x
0 2 5t x
2 5( ).x km
O A
C
B
1,4
1,8
Quà tặng 08/03 Fanpage Toán Học Bắc Nam
Bài tập toán thực tế Trang 3
Với bài toán này ta cần xác định OA để góc BOC lớn nhất.
Điều này xảy ra khi và chỉ khi tanBOC lớn nhất. Đặt OA = x (m) với x > 0,
ta có tanBOC = tan(AOC - AOB) =
tan tan
1 tan .tan
AOC AOB
AOC AOB
=
2
.
1
AC AB
OA OA
AC AB
OA
=
2
1,4
3,2.1,8
1
x
x
=
2
1,4
5,76
x
x
Xét hàm số f(x) =
2
1,4
5,76
x
x
Bài toán trở thành tìm x > 0 để f(x) đạt giá trị lớn nhất. Ta có
f'(x) =
2
2 2
1,4 1,4.5,76
( 5,76)
x
x
, f'(x) = 0 x = 2,4
Ta có bảng biến thiên
Hướng dẫn giải
Gọi t là thời gian vận chuyển hàng hóa từ cảng A đến cảng D.
Thời gian t là: t =
1 2
AC CD
v v
=
1 2
AE CE CD
v v
=
=
1 2
tan sin
h h
v v
=
1 2
.cot
sin
h h
v v
Xét hàm số
1 2
.cot
( )
sin
h h
t
v v
. Ứng dụng Đạo hàm ta được ( )t nhỏ nhất khi
2
1
cos
v
v
. Vậy để t nhỏ nhất ta chọn C sao cho 2
1
cos
v
v
.
Câu 6: Hai con tàu đang ở cùng một vĩ tuyến và cách nhau 5 hải lý. Đồng thời cả hai tàu
0
f(x)
+2,4
+ _
0
0
x
f'(x)
B A C
D
E
h
A B C
D
E
h
Câu 5: Từ cảng A dọc theo đường sắt AB cần phải xác
định một trạm trung chuyển hàng hóa C và xây dựng
một con đường từ C đến D. Biết rằng vận tốc trên
đường sắt là v1 và trên đường bộ là v2 (v1 < v2). Hãy
xác định phương án chọn địa điểm C để thời gian vận
chuyển hàng từ cảng A đến cảng D là ngắn nhất?
0
Vậy vị trí đứng cho góc nhìn lớn nhất là cách màn ảnh 2,4m.
Quà tặng 08/03 Fanpage Toán Học Bắc Nam
Bài tập toán thực tế Trang 4
cùng khởi hành một chạy về hướng Nam với 6 hải lý/giờ còn tàu kia chạy về vị trí hiện
tại của tàu thứ nhất với vận tốc 7 hải lý/ giờ. Hãy xác định mà thời điểm mà khoảng cách
của hai tàu là lớn nhất?
Hướng dẫn giải
Tại thời điểm t sau khi xuất phát, khoảng cách giữa hai tàu là d.
Ta có d
2
= AB1
2
+ AA1
2
= (5 - BB1)
2
+ AA1
2
= (5 - 7.t)
2
+
(6t)
2
Suy ra d = d(t) = 285 70 25t t .
Áp dụng Đạo hàm ta được d nhỏ nhất
khi
7
17
t (giờ), khi đó ta có d3,25 Hải lý.
Câu 7: Cho hình chữ nhật có diện tích bằng 2100( )cm . Hỏi mỗi kích thước của nó bằng
bao nhiêu để chu vi của nó nhỏ nhất?
A. 10 10cm cm B. 20 5cm cm C. 25 4cm cm D. Đáp án khác
