Hướng dẫn giải bài toán tích phân hàm ẩn – Nguyễn Hoàng Việt là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.online tổng hợp và biên soạn từ các nguồn chia sẻ trên Internet. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn luyện và học tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN
THẦY VIỆT 0905.193.688 0
https://www.facebook.com/vietgold
h
ttp
s://lu
y
en
th
itracn
g
h
iem
.v
n
“Nơi nào có ý chí, nơi đó có con đường.”
MỤC LỤC
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ............................................................................................................................... 1
DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM ............................................ 1
DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, GIẢI HỆ TÍCH PHÂN .............................. 10
DẠNG 3 : TÍCH PHÂN HÀM ẨN - PP ĐỔI BIẾN .......................................................................... 12
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1: Ta gặp ở bài toán đơn giản loại ...................................... 12
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2: Bài tập thường cho ở dạng .............................................. 18
MỘT SỐ CHÚ Ý ĐẶC SẮC VỚI TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN .......................................... 20
CHÚ Ý 1: Với những hàm số có tính chẵn lẻ ta cần nhớ ............................................................................ 20
CHÚ Ý 2: Cách đổi biến ngược đối với hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến. ...................... 22
CHÚ Ý 3: Bài toán tích phân có dạng sau: ................................................................................................... 23
CHÚ Ý 4: Một số bài toán không theo khuôn mẫu sẵn thì yêu cầu học sinh phải có tư duy, có kĩ
năng biến đổi để đưa về dạng quen thuộc. .................................................................................................. 26
DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN ....................................................................................... 31
BÀI TẬP ..................................................................................................................................................... 46
Ba Đồn – Quảng Bình “Thành công là nói không với lười biếng”
1 THẦY VIỆT 0905.193.688
h
tt
p
s:
//
lu
y
en
th
it
ra
cn
g
h
ie
m
.v
n
h
ttp
s:/
/w
ww
.fa
ceb
oo
k.c
om
/v
iet
go
ld
TÍCH PHÂN HÀM ẨN
DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM
Ví dụ 1: Cho
5
2
d 10f x x . Kết quả
2
5
2 4 df x x bằng
A. 34 . B. 36 . C. 40 . D. 32 .
Lời giải
Chọn A
Tacó
2 2 2
5 5 5
2 4 d 2 d 4 df x x x f x x
5
5
2
2
2 4 d 2. 5 2 4.10 34x f x x .
Ví dụ 2: Cho hàm số f x liên tục trên và F x là nguyên hàm của f x , biết
9
0
d 9f x x
và 0 3F . Tính 9F .
A. 9 6F . B. 9 6F . C. 9 12F . D. 9 12F .
Lời giải
Chọn C
Ta có:
9
9
0
0
dI f x x F x 9 0 9F F 9 12F .
Nhận xét 1: Trong hai ví dụ trên ta thấy tích phân cần tính có cùng cận với tích phân ở giả
thiết bài toán nên học sinh có thể dễ dàng nhận thấy và có thể làm được ngay. Trong một số
trường hợp thì học sinh cần phải dùng tính chất để biến đổi cận tích phân hoặc phải dùng đến
tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ.
Ví dụ 3: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn [0; 6] thỏa mãn
6
0
10f x dx và
4
2
6f x dx . Tính
giá trị của biểu thức
2 6
0 4
P f x dx f x dx .
A. 4P .` B. 16P . C. 8P . D. 10P .
Lời giải
Chọn A
Ta có
6 2 4 6
0 0 2 4
f x dx f x dx f x dx f x dx
Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN
THẦY VIỆT 0905.193.688 2
https://www.facebook.com/vietgold
h
ttp
s://lu
y
en
th
itracn
g
h
iem
.v
n
2 6 6 4
0 4 0 2
10 6 4P f x dx f x dx f x dx f x dx .
Ví dụ 4: Cho hàm số f x xác định trên \ 0 , thỏa mãn
3 5
1
f x
x x
, 1f a và
2f b . Tính 1 2f f .
A. 1 2f f a b . B. 1 2f f a b .
C. 1 2f f a b . D. 1 2f f b a .
Lời giải
Chọn C
Ta có
3 5
1
f x
x x
3 5
1
x x
f x nên f x là hàm số lẻ.
Do đó
2 1 2
2 2 1
d 0 d df x x f x x f x x .
Suy ra 1 2 2 1 1 2 2 1f f f f f f f f a b .
Nhận xét 2: Trong một số trường hợp đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng phân tích, tổng hợp, kĩ
năng biến đổi và phải có cái nhìn sâu hơn về bài toán.
Ví dụ 5: Cho hàm số f x liên tục trên 0; và thỏa
2
0
.cos
x
f t dt x x . Tính 4f .
A. 4 123f . B.
2
4
3
f . C.
3
4
4
f . D.
1
4
4
f .
Lời giải
Chọn D
Ta có: 'F t f t dt F t f t
Đặt
2
2
0
0
x
G x f t dt F x F
/
2 2' 2 .G x F x x f x (Tính chất đạo hàm hợp: ' ' . 'f u x f u u x )
Mặt khác, từ gt:
2
0
.cos
x
G x f t dt x x
' .cos ' sin cosG x x x x x x
Ba Đồn – Quảng Bình “Thành công là nói không với lười biếng”
3 THẦY VIỆT 0905.193.688
h
tt
p
s:
//
lu
y
en
th
it
ra
cn
g
h
ie
m
.v
n
h
