Kỹ Sư Hư Hỏng Thủ thuật casio tìm hệ số trong khai triển nhị thức Newton Bùi Thế Việt là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.online tổng hợp và biên soạn từ các nguồn chia sẻ trên Internet. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn luyện và học tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia
BÙI THẾ VIỆT Trang 1
BÙI THẾ VIỆT
Chuyên Đề CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia
THỦ THUẬT CASIO TÌM HỆ SỐ TRONG
KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON
Tác giả : Bùi Thế Việt – Chuyên gia thủ thuật CASIO
A – GIỚI THIỆU :
Như chúng ta đã biết, kể từ kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2017, môn Toán được
thi dưới hình thức khác là trắc nghiệm. Với 50 câu hỏi trong 180 phút cùng hàng chục
nghìn câu hỏi trắc nghiệm lấy từ ngân hàng đề thi của bộ GD&ĐT, chúng ta khó có
thể lường trước được những gì sẽ xảy ra trong kỳ thi sắp tới.
Trong các công cụ được mang vào phòng thi thì CASIO hoặc các máy tính cầm
tay khác là thiết bị không thể thiếu trong mỗi kỳ thi. Để đạt hiệu quả cao nhất thì
chúng ta cần phải biết cách sử dụng các tính năng của CASIO một cách tối đa.
Trong chuyên đề này, chúng ta sẽ sử dụng CASIO trong việc giải nhanh các bài
toán liên quan tới việc yêu cầu tìm hệ số trong khai triển nhị thức Newton.
Lưu ý : Thủ thuật chỉ phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm.
B – Ý TƯỞNG :
Trước hết, chúng ta cần biết về công thức khai triển nhị thức Newton :
n n n 1 n 2 2 n 3 3 n 1 nn n n na b a a b a b a b ... ab b
1 2 3 n 1
Với
k
n
n n!
C
k k! n k !
. Hoặc có thể viết gọn lại :
n
n k n k
k 0
n
a b a b
k
Vậy nếu tìm hệ số của tx trong khai triển biểu thức
n
x a , ta chỉ cần xét :
n
n k n k
k 0
n
x a x a
k
Hệ số của tx sẽ là t n t
n
x a
t
.
Đây là cách làm thường gặp trong khi làm bài thi tự luận. Nhưng đối với trắc nghiệm,
chúng ta không quan tâm tới việc mình trình bày thế nào, quan trọng là làm sao để ra
GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia
BÙI THẾ VIỆT Trang 2
đáp án chính xác và nhanh nhất. Cách làm trên sẽ vô cùng khó khăn khi xét các biểu
thức lớn như tìm hệ số 10x của
8
3 2x 2x 1
Bắt kịp xu thế, tôi (Bùi Thế Việt) mạnh dạn đưa phương pháp mà mình tự nghĩ ra chia
sẻ cho bạn đọc để giải quyết bài toán một cách khoa học hơn.
Bài toán : Tìm hệ số mx của biểu thức :
n
t t 1 t 2
t t 1 t 2 1 0
f x a x a x a x ... a x a
Hướng dẫn : Hệ số mx được tính bằng :
t t 1 t 2 01k k k kkm
t t 1 t 2 1 0
t t 1 t 2 0
n!
x .a a a ...a a
k !k !k !...k !
Với 1 2 3 tk ,k ,k ,...,k thỏa mãn :
0 1 2 t
1 2 3 t
k k k ... k n
k 2k 3k ... tk m
Nhận xét : Công thức trên có vẻ gây khó hiểu cho bạn đọc khi nhìn nó lần đầu tiên.
Tuy nhiên, hãy thử xem một vài ví dụ dưới đây để biết những gì nó mang lại như thế
nào …
Ví dụ 1 : Tìm hệ số 7x sau khi khai triển của biểu thức :
10
f x 2x 3
Hướng dẫn : Với 1 0k ,k , ta có hệ phương trình sau :
0 1 0
1 1
k k 10 k 3
k 7 k 7
Vậy 1 0k ,k 7,3 .
Hệ số của 7x là 01
k 3k7 7
1 0
10! 10!
x 2 3 2 3 414720
k !k ! 7!3!
Kết luận : Hệ số của 7x là 7x 414720
Ví dụ 2 : Tìm hệ số 6x sau khi khai triển của biểu thức :
9
2f x 3x 2x 1
Hướng dẫn : Với 2 1 0k ,k ,k , ta có hệ phương trình sau :
0 1 2
1 2
k k k 9
k 2k 6
Vậy 2 1 0k ,k ,k 0,6,3 ; 1,4,4 ; 2,2,5 ; 3,0,6 . Hệ số của
6x là :
GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia
BÙI THẾ VIỆT Trang 3
6 3 4 46 0 1
2 5 0 62 3
9! 9!
x 3 2 1 3 2 1
0!6!3! 1!4!4!
9! 9!
3 2 1 3 2 1
2!2!5! 3!0!6!
5376 30240 27216 2268 84
Kết luận : Hệ số của 6x là 6x 84
Nhận xét : Lời giải trên khá là loằng ngoằng phải không ? Nhưng hãy so sánh với cách
làm truyền thống, công thức trên của chúng ta dễ làm hơn nhiều …
Lời giải : [truyền thống] Ta có :
99 k2 9 k 18 2k
k 0
9 k
i k i9 k 18 2k i
k 0 i 0
9 k
i k i9 k 18 2k i
k 0 i 0
9
f x 3x 2x 1 3 x 2x 1
k
9 k
3 x 2 x 1
k i
9 k
3 2 1 x
k i
Vậy 18 2k i 6 k,i 6,0 ; 7,2 ; 8,4 ; 9,6 . Thế vào ta được :
i k i9 k n k3 2 1 2268 27216 30240 5376 84
k i
Hệ số của 6x là 6x 84 .
Nhận xét : Thử với những bài toán khó hơn, liệu giải pháp của chúng ta có tối ưu hơn
không :
Ví dụ 3 : Tìm hệ số 9x sau khi khai triển của biểu thức :
12
4 3f x x 2x x 2
Hướng dẫn : Với 4 3 1 0k ,k ,k ,k , ta có hệ phương trình sau :
0 1 3 4
1 3 4
k k k k 12
k 3k 4k 9
Khi đó :
4 3 1 0
k k k k
0 0 9 3 1760
0 1 6 5 354816
0 2 3 7 4055040
452320
0 3 0 9 901120
1 0 5 6 354816
1 1 2 8 3041280
2 0 1 9 337920
GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia
BÙI THẾ VIỆT Trang 4
Kết luận : Hệ số của 9x là 9x 452320 .
Nhận xét : Rất nhanh và khoa học ! Chúng ta sẽ chẳng cần phải phá ra thành các tổng
