Một số vấn đề chọn lọc nguyên hàm, tích phân và ứng dụng Vũ Ngọc Huyền là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.online tổng hợp và biên soạn từ các nguồn chia sẻ trên Internet. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn luyện và học tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
NGỌC HUYỀN LB
(facebook.com/huyenvu2405)
Đây là 1 tài liệu nhỏ chị viết gấp gáp để dành tặng
cho các em nhân ngày Valentine 2017. Tuy CHƯA
ĐẦY ĐỦ, nhưng chị tin nó cũng giúp ích cho em
phần nào khó khăn trong quá trình ôn luyện!
NGỌC HUYỀN LB
Tác giả “Bộ đề tinh túy Toán” & “Chắt lọc tinh túy toán”
Một số vấn đề chọn lọc
NGUYÊN HÀM
TÍCH PHÂN
VÀ ỨNG DỤNG
Đời phải trải qua giông tố nhưng không được cúi đầu trước giông tố!
Đã nói là làm – Đã làm là không hời hợt – Đã làm là hết mình – Đã làm là không hối hận!
facebook.com/huyenvu2405
Một số vấn đề chọn lọc Nguyên hàm – Tích phân và Ứng dụng
Đừng bao giờ bỏ cuộc Em nhé!
Chị tin EM sẽ làm được!
__Ngọc Huyền LB__
Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng The best or nothing
The best or nothing | 1
Chủ đề: Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng
I. Nguyên hàm và các tính chất cơ bản.
Kí hiệu K là một khoảng, một đoạn hay một nửa khoảng.
Định nghĩa
Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của hàm số f
trên K nếu 'F x f x với mọi x thuộc K.
Định lý 1
1. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì với mỗi hằng số C, hàm
G x F x C cũng là một nguyên hàm của hàm f trên K.
2. Đảo lại nếu F và G là hai nguyên hàm của hàm số f trên K thì tồn tại hằng số C
sao cho .F x G x C
Kí hiệu: f x dx F x C .
Người ta chứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên
hàm trên K.”
Tính chất của nguyên hàm
Định lý 2 sau đây cho ta một số tính chất cơ bản của nguyên hàm
Định lý 2
1. Nếu f, g là hai hàm số liên tục trên K thì
f x g x dx f x dx g x dx
af x dx a f x dx với mọi số thực a khác 0.
2. d f x dx f x dx
Bài toán tìm nguyên hàm là bài toán ngược với bài toán tìm đạo hàm. Việc tìm
nguyên hàm của một hàm số thường được đưa về tìm nguyên hàm của một số
hàm số đơn giản hơn. Dưới đây ta có bảng một số nguyên hàm :
dx x C
1
ax b dx ax b C
a
, 0a
1
, 1
1
x
x a dx C a
1
1
, 1
1
ax b
ax b dx C
a
1
lndx x a C
x a
1
.ln
dx
ax b C
ax b a
x xe dx e C 1ax b ax be dx e C
a
1
, 0, 1
ln
x xa dx a C a a
a
1
, 0, 1
.ln
px q px qa dx a C a a
p a
sin cosxdx x C
cos
sin , 0
ax
axdx C a
a
cos sinxdx x C
sin
cos , 0
ax
axdx C a
a
2
1
tan
cos
dx x C
x
2
1
cot
sin
dx x C
x
STUDY TIP:
Từ định nghĩa nguyên
hàm ta có được
f x dx ' f x
Quà tặng Valentine Ngọc Huyền LB
Ngọc Huyền LB | 2
II. Hai phương pháp cơ bản để tìm nguyên hàm.
a, Phương pháp đổi biến số.
Định lí 3
Cho hàm số u u x có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y f u liên tục sao
cho hàm hợp f u x xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f thì
'f u x u x dx F u x C
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm
10
1x dx .
Lời giải
Theo định lý trên thì ta cần viết về dạng f u du .
Mà ' 1 ' 1u x , do vậy
10 10
1 1 . 1 'x dx x x dx
11
10 1
1 1
11
x
x d x C
.
Từ ví dụ trên ta có các bước gợi ý để xử lý bài toán tìm nguyên hàm theo
phương pháp đổi biến
1. Đặt u g x .
2. Biến đổi x và dx về u và du.
3. Giải bài toán dưới dạng nguyên hàm hàm hợp f u du , sau đó thay biến x
vào nguyên hàm tìm được và kiểm tra lại kết quả.
Ta đến với ví dụ 2
Ví dụ 2: Tìm
72 1x x dx .
Ở bài toán này, ta thấy số mũ 7 khá cao mà lại có biểu thức trong ngoặc phức
tạp hơn là 2x . Do vậy ta sẽ đặt
7
1 x để đổi biến, dưới đây là lời giải áp dụng
gợi ý các bước trên.
Lời giải
Đặt 1 1 'u x du x dx du dx
ta có
72 1x x dx
2 7 7 8 91 . 1 2u u du u u u du
8 9 102
8 9 10
u u u
C
8 9 10
1 2 1 1
.
8 9 10
x x x
C
b, Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
Định lý 4
Nếu u và v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì
' . 'u x v x dx u x v x v x u x dx .
Công thức trên thường được viết gọn dưới dạng .udv uv vdu
STUDY TIP:
Với phương pháp đổi
biến ta cần chú trọng
công thức mà suy ra từ
định lý như sau:
Nếu u f x , khi đó
du f' x dx
Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng The best or nothing
The best or nothing | 3
Ví dụ 3: Thầy Điệp Châu cho bài toán “ Tìm sin cosx xdx ” thì ba bạn Huyền,
Lê và Hằng có ba cách giải khác nhau như sau:
Bạn Huyền giải bằng phương
pháp đổi biến số như sau:
“Đặt sinu x , ta có:
cosdu xdx
Vậy sin .cosx xdx udu
2 2sin
2 2
u x
C C ”
Bạn Lê giải bằng phương pháp lấy nguyên hàm
từng phần như sau:
“Đặt cos , ' sinu x v x .
Ta có ' sin , cosu x v x .
Công thức nguyên hàm từng phần cho ta
2sin cos cos sin cosx xdx x x xdx
Giả sử F là một nguyên hàm của
