Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng – Dương Phước Sang là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.online tổng hợp và biên soạn từ các nguồn chia sẻ trên Internet. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn luyện và học tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
D
Ư
Ơ
N
G
P
H
Ư
Ớ
C
SA
N
G
-T
H
P
T
C
H
U
VĂ
N
A
NChương 3
Nguyên hàm. Tích phân & Ứng dụng
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Cho hàm số y= f (x) liên tục trên K (khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng) chứa đoạn [a;b].
1. Công thức định nghĩa của nguyên hàm, tích phân
F(x) là 1 nguyên hàm của f (x) trên K ⇔ F ′(x)= f (x),∀x ∈ K
∫
f (x)dx = F(x)+C ⇔ F ′(x)= f (x),∀x ∈ K (với C là một hằng số thực bất kỳ).
∫ b
a
f (x)dx = F(x)
∣∣∣b
a
= F(b)−F(a). Từ đây ta có F(b)= F(a)+
∫ b
a
f (x)dx.
2. Tích chất của nguyên hàm
Mỗi hàm số f (x) liên tục trên K có vô số nguyên hàm trên K . Các nguyên hàm đó chỉ
sai khác nhau một hằng số C, nghĩa là nếu F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của f (x)
trên K thì F(x)−G(x)= C,∀x ∈ K .
∫
[ f (x)± g(x)] dx =
∫
f (x)dx±
∫
g(x)dx;
∫
kf (x)dx = k
∫
f (x)dx, ∀k ∈R, k 6= 0.
∫
f ′(x)dx = f (x)+C;
(∫
f (x)dx
)′
= f (x);
(giả sử f (x), g(x) là các hàm số liên tục trên K)
3. Tích chất của tích phân
Cho các hàm số f (x), g(x) liên tục trên K (khoảng, đoạn, nửa khoảng) chứa a, b, c. Khi đó
∫ b
a
f ′(x)dx = f (x)
∣∣∣b
a
= f (b)− f (a).
∫ b
a
f (x)dx =
∫ b
a
f (t)dt =
∫ b
a
f (u)du.
∫ b
a
[ f (x)± g(x)]dx =
∫ b
a
f (x)dx±
∫ b
a
g(x)dx.
∫ b
a
kf (x)dx = k
∫ b
a
f (x)dx, ∀k ∈R
∫ b
a
f (x)dx =
∫ c
a
f (x)dx+
∫ b
c
f (x)dx, ∀a,b, c ∈ K .
∫ a
a
f (x)dx = 0.
∫ a
b
f (x)dx =−
∫ b
a
f (x)dx.
f (x)> 0,∀x ∈ [a;b]⇒
∫ b
a
f (x)dx> 0.
f (x)6 0,∀x ∈ [a;b]⇒
∫ b
a
f (x)dx6 0.
(∫ x
a
f (t)dt
)′
= f (x),∀a ∈ K .
1
D
Ư
Ơ
N
G
P
H
Ư
Ớ
C
SA
N
G
-T
H
P
T
C
H
U
VĂ
N
A
N
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
4. Bảng nguyên hàm của các hàm số thông dụng
Lưu ý: nếu
∫
f (x)dx = F(x)+C thì
∫
f (ax+b)dx = 1
a
·F(ax+b)+C (a 6= 0).
Nguyên hàm Nguyên hàm mở rộng (đổi x thành ax+b,a 6= 0)
•
∫
dx = x+C •
∫
adx = ax+C
•
∫
xαdx = x
α+1
α+1 +C, α 6= −1 •
∫
(ax+b)αdx = 1
a
· (ax+b)
α+1
α+1 +C, α 6= −1
•
∫
1
x2
dx =−1
x
+C •
∫
1
(ax+b)2 dx =−
1
a
· 1
ax+b +C
•
∫
1p
x
dx = 2px+C •
∫
1p
ax+b
dx = 2
a
·
p
ax+b+C
•
∫ p
xdx = 2
3
x
p
x+C •
∫ p
ax+bdx = 2
3a
· (ax+b)
p
ax+b+C
•
∫
exdx = ex +C •
∫
eax+bdx = 1
a
·eax+b +C
•
∫
axdx = a
x
lna
+C •
∫
amx+ndx = 1
m
· a
mx+n
lna
+C
•
∫
1
x
dx = ln |x|+C •
∫
1
ax+bdx =
1
a
· ln ∣∣ax+b∣∣+C
•
∫
sin xdx =−cos x+C •
∫
sin(ax+b)dx =−1
a
cos(ax+b)+C
•
∫
cos xdx = sin x+C •
∫
cos(ax+b)dx = 1
a
sin(ax+b)+C
•
∫
1
cos2 x
dx = tan x+C •
∫
1
cos2(ax+b)dx =
1
a
· tan(ax+b)+C
•
∫
1
sin2 x
dx =−cot x+C •
∫
1
sin2(ax+b)dx =−
1
a
·cot(ax+b)+C
Một số công thức bổ sung để làm bài trắc nghiệm
•
∫
1
x2 −a2 dx =
1
2a
ln
∣∣∣ x−a
x+a
∣∣∣+C • ∫ 1
(ax+b) (cx+d) dx =
1
ad− cb ln
∣∣∣∣ax+bcx+d
∣∣∣∣+C
•
∫
tan2 xdx = tan x− x+C •
∫
cot2 xdx =−cot x− x+C
•
∫
tan xdx =− ln |cos x|+C •
∫
cot xdx = ln |sin x|+C
•
∫
1
sin x
dx = ln
∣∣∣tan x
2
∣∣∣+C • ∫ 1
cos x
dx = ln
∣∣∣tan( x
2
+ π
4
)∣∣∣+C
•
∫
1
xn
dx =− 1
n−1 ·
1
xn−1
+C •
∫
npxdx = n
n+1 · x
npx+C
•
∫
1p
a2 − x2
dx = arcsin x|a| +C •
∫
1
x2 +a2 dx =
1
a
arctan
x
a
+C
•
∫
dxp
x2 +a
= ln
∣∣∣x+√x2 +a∣∣∣+C • ∫ √x2 +adx = x
2
√
x2 +a+ a
2
ln
∣∣∣x+√x2 +a∣∣∣+C
Dương Phước Sang 2 Ô 0942.080383
D
Ư
Ơ
N
G
P
H
Ư
Ớ
C
SA
N
G
-T
H
P
T
C
H
U
VĂ
N
A
N
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
5. Công thức nguyên hàm từng phần, tích phân từng phần
Với u = u(x), v = v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên K ta có
∫
udv = uv−
∫
vdu
∫ b
a
udv = (uv)∣∣ba −∫ b
a
vdu
Dưới đây là bảng các dạng nguyên hàm (tích phân) từng phần thường gặp:∫
P(x).eax+b dx
∫
P(x).sinaxdx
∫
P(x).cosaxdx
∫
eax cos xdx
∫
P(x). ln xdx
u P(x) P(x) P(x) cos x ln x
dv eax+b dx sinaxdx cosaxdx eax dx P(x)dx
(P(x) là ký hiệu cho một đa thức ẩn x có dạng anxn +an−1xn−1 +·· ·+a1x+a0)
6. Phương pháp đổi biến số trong bài toán nguyên hàm, tích phân
Nếu
∫
f (x)dx = F(x)+C thì
∫
f
[
t(x)
]
.t′(x)dx = F[t(x)]+C
Dạng tích phân Đặc điểm nhận dạng Cách đặt∫
a.t(x)+b.t′(x)
t(x)
dx Đặt biểu thức dưới mẫu t = t(x)∫
f
(
et(x)
)
.t′(x)dx Đặt biểu thức ở phần số mũ t = t(x)∫
f
(
t(x)
)
.t′(x)dx Đặt biểu thức nằm bên trong dấu ngoặc t = t(x)∫
f
(
n
√
t(x)
)
.t′(x)dx Đặt căn thức có trong tích phân t = npt(x)∫
f (ln x) .
dx
x
Đặt biểu thức chứa lnx t = ln x∫
f (sin x).cos2n−1 xdx Gặp cos(mũ lẻ)x.dx đi kèm biểu thức theo sinx t = sin x∫
f (cos x).sin2n−1 xdx Gặp sin(mũ lẻ)x.dx đi kèm biểu thức theo cosx t = cos x∫
f (tan x).
dx
cos2 x
Gặp
dx
cos2 x
đi kèm biểu thức theo tan x t = tan x∫
f (cot x).
dx
sin2 x
Gặp
dx
sin2 x
đi kèm biểu thức theo cot x t = cot x∫
f (eax+b).eax+b dx Gặp eax+bdx đi kèm biểu thức theo eax+b t = eax+b∫
f
(
xα+1
)
.xαdx Gặp xαdx đi kèm biểu thức theo xα+1 t = xα+1∫
f
(
xα
)
.
dx
x
Gặp
dx
x
đi kèm biểu thức theo xα t = xα
Đôi khi thay cách đặt t = t(x) bởi t = m.t(x)+n ta sẽ gặp thuận lợi hơn trong tính toán
Dương Phước Sang 3 Ô 0942.080383
D
Ư
Ơ
N
G
P
H
Ư
Ớ
C
SA
N
G
-T
H
P
T
C
H
U
VĂ
N
A
N
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
7. Phép lượng giác hoá trong phương pháp tính tích phân (đổi biến số loại 1)
Dấu hiệu Vi phân kèm theo Cách đặt (giả sử a > 0)
p
a2 − x2 x2ndx x = asin t, với −π
2
6 t6
π
2
p
2ax− x2 x2ndx x−a = asin t, với −π
2
6 t6
π
2
a2 + x2 x2ndx x = atan t, với −π
