Phép biến hình và phép dời hình Lê Bá Bảo File word là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
CHUYÊN ĐỀ:
PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
Chủ đề 0: Phép biến hình và phép dời hình
I- LÝ THUYẾT
1. Phép biến hình:
a. Định nghĩa: Phép biến hình là một quy tắc để với mỗi điểm M trong mặt phẳng xác định được với một điểm duy nhất của mặt phẳng và : gọi là ảnh của M qua phép biến hình đó.
Ký hiệu: f là một phép biến hình nào đó và là ảnh của M qua f thì ta viết: hay hay hay .
Nhận xét: 1) f là một phép biến hình đồng nhất
(M được gọi là điểm bất động, kép, bất biến)
2) là các phép biến hình thì là phép biến hình
3) được gọi là ảnh của hình qua phép biến hình f
. Ta viết .
2. Phép dời hình:
Định nghĩa: Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ M, N và ảnh của chúng.
3. Tính chất: (của phép dời hình)
3.1- Phép dời hình biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng, 3 điểm không thẳng hàng thành 3 điểm không thẳng hàng
3.2- Phép dời hình biến:
– Đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó
– Tam giác thành tam giác bằng nó (trực tâm trực tâm, trọng tâm trọng tâm)
– Đường tròn thành đường tròn bằng nó (tâm biến thành tâm: )
– Góc thành góc bằng nó
II- LUYỆN TẬP:
Dưới đây, là một số kỹ năng cơ bản giúp độc giả giải quyết xuyên suốt các vấn đề về các phép biến hình cụ thể được học.
Bài tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chứng tỏ các quy tắc sau là một phép biến hình:
a) Phép biến hình biến mỗi điểm thành điểm
b) Phép biến hình biến mỗi điểm thành điểm
Gợi ý: Chỉ rõ:
a) Gọi
* Theo quy tắc đặt như trên, luôn tồn tại điểm
Như vậy, với mọi điểm M thì luôn tại ảnh là . (1)
* Giả sử, qua quy tắc đặt trên, điểm có 2 ảnh là:
Lúc đó: và
Từ (i) và (ii) dễ thấy: (2)
Từ (1) và (2), kết luận: Quy tắc đặt trên là một phép biến hình.
b) Độc giả chứng minh tương tự.
Nhận xét: Để chỉ rõ một quy tắc đặt cho trước là một phép biến hình, cần chỉ rõ 2 điểm:Với mọi điểm M, luôn tồn tại ảnh của M qua quy tắc đặt tương ứng.Ảnh của M qua quy tắc đặt tương ứng đó là duy nhất.
Ngược lại, một trong 2 yêu cầu trên không được thỏa mãn thì quy tắc đặt không là phép biến hình.
Bài tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép biến hình nào sau đây là phép dời hình?
a) Phép biến hình biến mỗi điểm thành điểm
b) Phép biến hình biến mỗi điểm thành điểm
Gợi ý: Chỉ rõ:
Lấy hai điểm , ta có:
a) Ảnh của M, N qua phép biến hình lần lượt được
Ta có:
Vậy phép biến hình là phép dời hình.
b) Tương tự,
Xét ảnh của M, N qua phép biến hình lần lượt được .
Ta có:
Để ý rằng, nếu thì .
Kết luận: Phép biến hình không là phép dời hình.
Bài tập 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, với là những số cho trước. Xét phép biến hình F biến mỗi điểm thành điểm , trong đó: a) Chứng minh: F là phép dời hìnhb) Khi . Chứng minh: F là phép tịnh tiến.
Gợi ý: Chỉ rõ:
a) Phép biến hình F biến tương ứng thành , với:
và
Ta có:
Xét:
Kết luận: Vậy phép biến hình F là phép dời hình.
b) Khi , ta có:
Hay:
Vậy F là phép tịnh tiến theo vecto
Tương tự, độc giả giải quyết bài toán sau:
Bài tập 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, với là cho trước. Xét phép biến hình F biến mỗi điểm thành điểm , trong đó: Chứng minh: F là phép dời hình.
Kỹ năng xác định tọa độ điểm, phương trình đường thẳng và đường tròn qua phép biến hình bất kì:
Bài tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Xét phép biến hình .a) Chứng minh: F là phép dời hình.
b) Xác định ảnh của điểm qua phép biến hình F.
c) Xác định phương trình đường thẳng là ảnh của đường thẳng qua phép biến hình F.
d) Xác định phương trình đường tròn là ảnh của qua phép biến hình F.
e) Xác định phương trình Elip là ảnh của .
Gợi ý:
a) Chỉ rõ
b) Ta có:
c) Phương pháp 1: Chọn 2 điểm M, N bất kỳ trên Δ, xác định ảnh tương ứng là . Đường thẳng cần tìm là đường thẳng qua hai điểm .
Chọn
Vậy đường thẳng cần tìm là đường thẳng .
Đường thẳng đi qua và có 1 vecto chỉ phương
Phương pháp 2: Sử dụng quỹ tích:
Gọi
Lúc đó: .
Vậy
Nhận xét: Ngoài 2 phương pháp cơ bản trên, thì trong nhiều các phép biến hình cụ thể chúng ta có thể sử dụng tính chất riêng để giải quyết tốt hơn.
* Xác định phương trình của đường tròn là ảnh của đường tròn cho trước:
Phương pháp 1: Theo tính chất của phép dời hình: Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
Ta có
là tâm của đường tròn ảnh . Để ý phép biến hình F là phép dời hình.
Vậy đường tròn .
Phương pháp 2: Sử dụng quỹ tích.
Gọi
Lúc đó:
Vậy .
e) Sử dụng quỹ tích:
Gọi
Lúc đó:
Vậy
III – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
Câu 1: Quy tắc nào dưới đây là phép biến hình?
A. Điểm O cho trước đặt tương ứng là với O, còn nếu M khác O thì M ứng với sao cho
B. Điểm O cho trước ứng với điểm O, còn M khác O thì M ứng với sao cho tam giác là tam giác vuông cân đỉnh O.
C. Điểm O cho trước ứng với điểm O, còn M khác O thì M ứng với sao cho tam giác là tam giác đều.
D. Điểm O cho trước đặt tương ứng là với O, còn M khác O thì M ứng với sao cho .
Lời giải
Ta có: Quy tắc đặt này là phép đồng nhất.
Các quy tắc còn lại không là phép biến hình.
+)
