Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 22 PHUONG TRINH HAM là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Biên soạn: LÊ VĂN QUANG
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
A/ MỤC TIÊU:
- Cung cấp cho học sinh một số cách tìm hàm số đơn giản và một số đề thi học sinh giỏi trong tỉnh nhằm nâng cao và mở rộng kiến thức cho học sinh khá giỏi
- Là tài liệu nội bộ cho giáo viên trong tổ tham khảo
B/ NỘI DUNG:
Chủ đề gồm có 2 phần:
- Các cách tìm hàm số đơn giản
- Các dạng bài tập luyện tập và bài tập nâng cao
CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM
Dạng 1: Tìm f(x) , biết = v(x)
Đặt t = u(x) , tính x theo t : x = (t)
Thế vào biểu thức đã cho ta được f(t) =
Khi đó thay t bởi x ta được : f(x)
Ví dụ 1: Tìm hàm số f(x) biết :
1, f(2x + 1) = 7x + 5
2,
Hướng dẫn giải
1, Đặt t = 2x + 1
Hệ thức đã cho trở thành : f(t) =
Vậy f(x) =
2, Đặt t =
Do đó f(t) =
Vậy f(x) =
Bài tập tự luyện:
1, Tìm hàm f(x) biết :
a) Nhân lượng liên hợp . ĐS:
b)
Hướng dẫn giải
Đặt
Dạng 2: Tìm f(x) biết
Từ hệ thức đã cho suy ra hệ thức mới chỉ chứa và
Ta được hệ pt chứa 2 ẩn và
Giải hệ này ta đưa bài toán về dạng 1.
Ví dụ 1: * a.f(x) + b.f(–x) = C
Thay x bởi – x ta được a.f(–x) + b.f(x) = C
* a.f(x) + bf = C
Thay x bởi ta được a.f ta được a.f + b.f(x) = C
Ví dụ 2: Tìm hs f(x) biết :
1, 2.f(x) – f(–x) =
2, (x – 1) f(x) + =
Hướng dẫn giải
1, Ta có : 2.f(x) – f(–x) = (1)
Thay x bởi – x thì đẳng thức trở thành
(2)
Nhân 2 vào hai vế của (1) xong cộng với (2) theo từng vế ta được
2, Ta có : (x – 1).f(x) + (3)
Thay x bởi thì đẳng thức này thành:
Hay (4)
Nhân vào hai vế của (3) ta được: (5)
Lấy (4) trừ (5) theo từng vế ta được:
Suy ra :
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tìm hàm f(x) biết :
a)
Thay x bởi – x ta được: (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ:
b) f(x) là một đa thức bậc ba thỏa:
Hướng dẫn giải
Vì f(0) = 0 (1)
=
=
Cách khác :
Bài 2 : Tìm hàm số f(x) biết rằng
Hướng dẫn giải
Đặt
Thay và vào pt của đề bài ta có:
Đổi k/h biến số ta được: với
Bài 3: Cho h/số f(x) xđ với tìm h/số này biết rằng
Hướng dẫn giải
Đặt với
Thay và vào (*) ta được
Đổi u thành x ta được
ta được hệ :
*
* x = 1 ta thay x = 1 vào (1) : f(1) + f(1) = 2 f(1) = 1
Tóm lại:
Bài 3
Tìm ( xác định) h/số f(x) thỏa: với mọi x, y (*)
Hướng dẫn giải
Thay x = 0 , y= 0 vào (*) ta có :
Với (2)
Từ (1), (2)
Thay y = – x vào (*)
Lại cho y = 0
Ta có (3) theo (5)
Từ (4) và (6) ta suy ra : . Đảo lại xem h/số
Ta nhận thấy f(x) thỏa yêu cầu của bài toán.
Vậy
Dạng 3: Tìm hai hàm f(x) và g(x) biết:
Khử f hoặc g để đưa về dạng 2 hoặc dạng 1 và g(x)
Ví dụ : Khử f :
Trong (1) đặt t = u(x) thì nên (1) thành
Trong (2) cũng đặt t = p(x) thì nên (2) thành
Từ (3) và (4) khử f(t)
Ví dụ 1: Tìm hai hàm f(x) và g(x) sao cho:
Hướng dẫn giải
Đặt t = x + 1 x = t – 1 và do đó (1) trở thành:
Lại đặt do đó (2) trở thành:
(4)
Cộng (3) và(4) theo từng vế ta được:
Suy ra f(t) = 2t – 1 với 2t – 1 . Vậy f(x) = 2x – 1
Mặt khác thay f(t) = 2t – 1 vào (4) ta được:
Vậy g(x) = x + 10
Bài tập: Tìm các hàm f(x) và g(x), biết:
Hướng dẫn giải
Đặt u = x + 6 x = u – 6
Thay x = u – 6 vào (1) ta có :
Đặt
Thay x = 2t – 2 vào (2) , ta có: f(t) + g(2t+3) = 2t + 2 (4)
Đổi u và t thành x, ta có:
Giải hệ ta được và
Đặt y = 2x + 3
Thay vào biểu thức của g ta được:
Tóm lại ta đã tìm được f(x) và g(x) như sau:
b)
Đặt u = 2x – 1
1 – x =
Đặt
Từ (1),(2)
Thay vào (1) ta có :
Đặt t =
BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 1: Tìm hàm số y = f(x) biết rằng:
f(x.y) + f(x – y) + f(x + y + 1) = x.y + 2x +1
Hướng dẫn giải
Xét pt : f(x.y) + f(x – y) + f(x + y + 1) = x.y + 2x +1 (1)
Từ (1) cho y = – 1 , y = 0 ta được:
(2)
(3)
Từ (2), (3)
Đặt t = – x
Đặt g(t) = f(t) – t ta có g(t) = f(0) – 0 = g(0)
Để tính g(0) ta viết (1) dưới dạng
Lấy x = y = 0
Do g(t) = g(0)
Do đó :
Bài 2:
Cho hàm f(x) với biến số thực x, không đồng nhất 0 thỏa pt:
f(x).f(y) = f(x – y)
Tìm f(x)
Hướng dẫn giải
Cho x = a với ta có : (*)
a tồn tại vì f(x) không đồng nhất 0
Thay y = 0 ta có :
Thay y = x từ (*) (2)
Thay y = từ (*) (3)
Từ (2) và (3)
Vậy f(x) = 1
Bài 3: Tìm hàm số f(x) nếu:
Hướng dẫn giải
Trong (1) cho x = 0 , y = t ta có:
Trong (1) cho x = ta có: (3)
Trong (1) cho ta có: (4)
Cộng (2) với (3) ta được: (5)
Lấy (5) trừ (4) ta được : (6)
Rõ ràng (6) thỏa mãn (1) và
Vậy hàm cần tìm là:
