LTDH Chuyen de Tich Phan là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Chuyên đề
TÍCH PHÂN
CÔNG THỨC
Bảng nguyên hàm
Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của những hàm số thường gặp Nguyên hàm của những hàm số hợp
I. ĐỔI BIẾN SỐ
TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
1. Đổi biến số dạng 2
Để tính tích phân ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Đặt t = u(x) và tính .
Bước 2. Đổi cận: .
Bước 3. .
Ví dụ 7. Tính tích phân .
Giải
Đặt
.
Vậy .
Ví dụ 8. Tính tích phân .
Hướng dẫn:
. Đặt
ĐS: .
Ví dụ 9. Tính tích phân .
Hướng dẫn:
Đặt
ĐS: .
Ví dụ 10. Tính tích phân .
Hướng dẫn:
Đặt ; đặt
ĐS: .
Chú ý:
Phân tích , rồi đặt sẽ tính nhanh hơn.
2. Đổi biến số dạng 1
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Đặt x = u(t) và tính .
Bước 2. Đổi cận: .
Bước 3. .
Ví dụ 1. Tính tích phân .
Giải
Đặt
.
Vậy .
Ví dụ 2. Tính tích phân .
Hướng dẫn:
Đặt
ĐS: .
Ví dụ 3. Tính tích phân .
Giải
Đặt
.
Vậy .
Ví dụ 4. Tính tích phân .
Hướng dẫn:
.
Đặt
ĐS: .
Ví dụ 5. Tính tích phân .
ĐS: .
Ví dụ 6. Tính tích phân .
ĐS: .
3. Các dạng đặc biệt
3.1. Dạng lượng giác
Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân .
Hướng dẫn:
Đặt
ĐS: .
Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân .
Hướng dẫn:
Đặt
ĐS: .
Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân .
Giải
.
Vậy .
Ví dụ 14. Tính tích phân .
Hướng dẫn:
Đặt .
ĐS: .
Biểu diễn các hàm số LG theo :
3.2. Dạng liên kết
Ví dụ 15. Tính tích phân .
Giải
Đặt
.
Vậy .
Tổng quát:
.
Ví dụ 16. Tính tích phân .
Giải
Đặt
(1).
Mặt khác (2). Từ (1) và (2) suy ra .
Tổng quát:
.
Ví dụ 17. Tính tích phân và .
Giải
(1).
Đặt (2).
Từ (1) và (2).
Ví dụ 18. Tính tích phân .
Giải
Đặt
.
Đặt
.
Vậy .
Ví dụ 19. Tính tích phân .
Hướng dẫn:
Đặt
ĐS: .
Tổng quát:
Với , , hàm số chẵn và liên tục trên đoạn thì
.
Ví dụ 20. Cho hàm số f(x) liên tục trên và thỏa .
Tính tích phân .
Giải
Đặt ,
.
Vậy .
3.3. Các kết quả cần nhớ
i/ Với , hàm số lẻ và liên tục trên đoạn [–a; a] thì .
ii/ Với , hàm số chẵn và liên tục trên đoạn [–a; a] thì .
iii/ Công thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm)
.
Trong đó
n!! đọc là n walliss và được định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn. Chẳng hạn:
.
Ví dụ 21. .
Ví dụ 22. .
II. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
1. Công thức
Cho hai hàm số liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Ta có
.
Công thức:
(1).
Công thức (1) còn được viết dưới dạng:
(2).
2. Phương pháp giải toán
Giả sử cần tính tích phân ta thực hiện
Cách 1.
Bước 1. Đặt (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm và vi phân không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân phải tính được.
Bước 2. Thay vào công thức (1) để tính kết quả.
Đặc biệt:
i/ Nếu gặp với P(x) là đa thức thì đặt .
ii/ Nếu gặp thì đặt .
Cách 2.
Viết lại tích phân và sử dụng trực tiếp công thức (2).
Ví dụ 1. Tính tích phân .
Giải
Đặt (chọn )
.
Ví dụ 2. Tính tích phân .
Giải
Đặt
.
Ví dụ 3. Tính tích phân .
Giải
Đặt
.
Đặt
.
Chú ý:
Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần.
Ví dụ 7. Tính tích phân .
Hướng dẫn:
Đặt .
Ví dụ 8. Tính tích phân .
ĐS: .
III. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Phương pháp giải toán
1. Dạng 1
Giả sử cần tính tích phân , ta thực hiện các bước sau
Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:
Bước 2. Tính .
Ví dụ 9. Tính tích phân .
Giải
Bảng xét dấu
.
Vậy .
Ví dụ 10. Tính tích phân .
ĐS: .
2. Dạng 2
Giả sử cần tính tích phân , ta thực hiện
Cách 1.
Tách rồi sử dụng dạng 1 ở trên.
Cách 2.
Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).
Ví dụ 11. Tính tích phân .
Giải
Cách 1.
.
Cách 2.
Bảng xét dấu
x –1 0 1 2
x – 0 + +
x – 1 – – 0 +
.
Vậy .
3. Dạng 3
Để tính các tích phân và , ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số trên đoạn [a; b].
Bước 2.
+ Nếu thì và .
+ Nếu thì và .
Ví dụ 12. Tính tích phân .
Giải
Đặt .
Bảng xét dấu
x 0 1 3 4
h(x) + 0 – 0 +
.
Vậy .
Ví dụ 13. Tính tích phân .
Giải
Đặt .
Bảng xét dấu
x 0 1 2
h(x) – 0 +
.
Vậy .
IV. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN
Phương pháp giải toán
1. Dạng 1
Để chứng minh (hoặc ) ta chứng minh (hoặc ) với .
Ví dụ 14. Chứng minh .
Giải
Với .
2. Dạng 2
Để chứng minh ta chứng minh với .
Ví dụ 15. Chứng minh .
Giải
Với
.
Vậy .
3. Dạng 3
Để chứng minh ta thực hiện các bước sau
Bước 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [a; b] ta được .
Bước 2. Lấy tích phân .
Ví dụ 16. Chứng minh .
Giải
Với .
Vậy .
Ví dụ 17. Chứng minh .
Giải
Với
.
Vậy .
Ví dụ 18. Chứng minh .
Giải
Xét hàm số ta có
.
Vậy .
4. Dạng 4 (tham khảo)
Để chứng minh (mà dạng 3 không làm được) ta thực hiện
Bước 1. Tìm hàm số g(x) sao cho .
Bước 2. Tìm hàm số h(x) sao cho .
Ví dụ 19. Chứng minh .
Giải
Với
.
Đặt
.
Vậy .
Ví dụ 20. Ch
