Tài liệu Toán 12 Chuyên đề vận dụng cao 1. CHƯƠNG 3. VẬN DỤNG CAO NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Đặt mua trọn bộ tài liệu bài tập VẬN DỤNG CAO 2018 môn Toán file word
Cách 1: Soạn tin “ Đăng ký bộ vận dụng cao” gửi đến số 0982.563.365
Cách 2: Đăng ký tại link sau http://dethithpt.com/dangkytoan/
CHƯƠNG 3.
BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN.
CHỦ ĐỀ 1.
CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM
Đầu tiên xin nhắc lại các khái niệm và định lí căn bản để quý bạn đọc có kiến thức nền tảng trước khi đi vào các bài toán cụ thể.
1. Định nghĩa
Cho hàm số xác định trên tập K (khoảng, nửa khoảng, đoạn của R). Nếu Ta có hàm số xác định trên K sao cho thì được gọi là nguyên hàm của hàm số trên K.
Định lí 1. Nếu là một nguyên hàm của hàm số trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số cũng là một nguyên hàm của hàm số trên K.
Định lí 2. Nếu là một nguyên hàm của hàm số trên K thì mọi nguyên hàm của trên K đều có dạng với C là hằng số.
Định lí 3. Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
2. Tính chất của nguyên hàm:
với C là hằng số.
với k là hằng số khác 0.
Bảng nguyên hàm
Chú ý: công thức tính vi phân của là
Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu một số bài toán Nguyên Hàm ở mức độ vận dụng sau đây:
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Biết . Với a là số nguyên. Tìm a?
A. B. C. D.
Giải:
Đặt , Ta có:
Đặt
Vậy
Chọn C.
Bài 2: Biết . Với a là số nguyên. Tìm a?
A. B. C. D.
Giải:
Vì nên
Nguyên hàm của: là: .
CHọn A.
Bài 3: Tìm một nguyên hàm của: biết nguyên hàm này bằng 3 khi .
A. B. C. . D. .
Giải:
Nguyên hàm của
Ta có:
Chọn C.
Bài 4: là nguyên hàm của:
A. . B. . C. . D. .
Giải:
Ta chỉ cần đạo hàm của F(x), rồi sau đó quan sát kết quả đúng.
Ta có:
là một nguyên hàm của .
Chọn D.
Bài 5: Biết . Với a là số nguyên. Tìm a?
A. B. C. D.
Giải:
Chú ý nếu chúng ta biến đổi:
. Là sai
Điều sau đây mới đúng:
Trở lại bài, ta sẽ biến đổi biểu thức về dạng như sau:
Chọn D.
Bài 6: Biết , với a, b là cá số nguyên. Tính S = a + b?
A. B. C. D.
Giải:
Ta quan sát mẫu cso thể phân tích được thành nhân tử, sử dụng MTCT bấm giải phương trình bậc 2:
thấy có hai nghiệm là: .
Áp dụng công thức với là hai nghiệm ta có:
Do đó:
Chọn C.
Bài 7: Biết , với a, b là cá số nguyên. Tính S = a + b?
A. B. C. D.
Giải:
Nếu áp dụng ngay: thì ta có:
. Là sai.
Ta phải khai triển để xem thử
Chọn D.
Bài 8: Biết , với a, b là cá số nguyên. Tính S = a + b?
A. B. C. D.
Giải:
Chưa áp dụng ngay được công thwucs nguyên hàm cơ bản, ta quan sát mẫu và thấy rằng có thể biến đổi dựa trên công thức hạ bậc: . Do đó:
.
Ta thấy rằng do đó S=3.
Chọn C.
Bài 9: Biết , với a, b là cá số nguyên. Tính S = a + b?
A. B. C. D.
Giải:
Ta thấy a=1,b=2 suy ra S=3
Chọn C.
Bài 10: Cho . Một nguyên hàm của thỏa là:
A. . B. .
C. . D. .
Giải:
Ta cần phải tính . Đầu tiên sử dụng công thức hạ bậc để đổi như sau:
Chọn B.
Bài 11: Cho . Một nguyên hàm của thỏa là:
A. B. .
C. . D. .
Giải:
Ta có: .
Theo đề do đó: .
Chọn B.
Bài 12: Biết là nguyên hàm của với và . Giá trị nhỏ nhất của là:
A. B. C. D.
Giải:
Ta có:
Vì nên
Lúc này với . Sử dụng MTCT bấm Mode 7 chọn start 0 end 1 Step 0.1:
Quan sát bảng giá trị ta thấy giá trị nhỏ nhất của F(x) là 25 xảy ra khi x =0,4
Chọn C.
Bài 13: Khi tính nguyên hàm người ta đặt (một hàm biểu diễn theo biến x) thì nguyên hàm trở thành . Biết , giá trị của là:
A. B. C. D.
Giải:
Đối với bài này HS cần pahir nắm được kĩ thuật biến đổi khi tính nguyên hàm. Hs cần phải dự đoán phép đặt ẩn phụ, đầu tiên ta thấy nguyên hàm có thể biến đổi thành:
Do đó ta đặt:
Vì vậy suy ra
Tuy nhiên đây là lời giải sai, ta có thể thấy khi đặt
Với C là hằng số, kết quả không thay đổi. Vì vậy chính xác ở đây là:
. Theo đề n33n suy ra C=0.
Cuối cùng ta được vì vậy
Chọn C.
Chú ý: Bài toán này hoàn toàn có thể dùng MTCT để chọn kết quả, Ta có:
Do đó là nguyên hàm của . Suy ra:
Và:
Sử dụng MTCT bấm:
Là kết quả C.
CHỦ ĐỀ 2.
CÁC BÀI TOÁN TÍCH PHÂN.
1. Định nghĩa
Cho hàm số thỏa:
+ Liên tục trên đoạn .
+ là nguyên hàm của trên đoạn .
Lúc đó hiệu số được gọi là tích phân từ a đến b và kí hiệu
Chú ý:
+ a, b được gọi là 2 cận của tích phân.
+ a = b thì
+ a > b thì .
+ Tích phân không phụ thuộc và biến số, tức là .
2. Tính chất của tích phân:
+ .
+ với k là hằng số khác 0.
+ .
Chú ý:
Để tính tích phân từ a đến b, ta tiến hành tìm nguyên hàm rồi sau đó thay cận vào theo công thức .
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Một lần nữa xin nhắc lại rằng đây là cuốn sách đề cập đến các bài toán vận dụng và vận dụng cao nên trước khi sử dụng sách này quý bạn đọc cần có kiến thwucs cơ bản tốt. Bây giờ chúng ta cùng nghiên cứu các bài toán tích phân khá khó:
Bài 1: Nếu a là một số thỏa mãn các điều kiện sau: và thì:
A. B. . C. D. .
Giải:
Vì nên , vậy:
.
Vì nên (1) không thỏa mãn với mọi ,hoặc thay 4 vào đáp án (1) ta thấy đều không thỏa.
Đối với (2). Vì nên chọn l=1 lúc đó .
Chọn D.
Bài 2: Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên dương k thỏa mãn điều kiện . Khi đó:
A. B. . C. D. .
Giải:
Dùng phươn
